Элементы кинетической теории газов и вероятностные модели

Содержание

1. Идеальный газ

2. Вероятностные характеристики идеального газа

3. Давление газа на стенки и уравнение состояния идеального газа

4. Теплообмен и температура

5. Плотность равновесного распределения молекул в потенциальном силовом поле

6. Плотность распределения по скоростям. Распределение Максвелла

2. Идеальный газ

Назовём простейшей термодинамической системой цилиндрический сосуд, заполненный идеальным газом, вида

Стенки сосуда непроницаемы для газа. Объём может меняться, поскольку стенка, которую в дальнейшем мы будем называть поршнем, может перемещаться вдоль оси цилиндра, совмещённой с осью х. Сосуд расположен так, что его объём V = Sx, x>0, где х – расстояние между дном сосуда и поршнем, S-площадь поршня.

Внешность сосуда будем называть термостатом. Термостат взаимодействует с термодинамической системой двумя способами:

1. посредством теплообмена через стенки сосуда и

2. механически, посредством изменения объёма при перемещении поршня.

Именно поэтому система и называется термодинамической.

Физическая среда под названием "идеальный газ" с точки зрения молекулярной теории представляет собой совокупность упругих шариков-молекул, движущихся подобно биллиардным шарам внутри сосуда, сталкиваясь между собой и со стенками сосуда. Между этими столкновениями молекулы движутся равномерно и прямолинейно, т.е. на них не действуют в это время никакие силы.

При комнатной температуре и нормальном атмосферном давлении объём, в среднем приходящийся на одну молекулу газа, приблизительно в 10³ раз больше объёма самой молекулы, и если газ с помощью сжатия и охлаждения сжижить, то его объём уменьшится приблизительно в тысячу раз.

Что касается массы такого шарика-молекулы, то её легко получить по формуле ,

где — масса граммолекулы газа, а — число Авогадро, равное числу молекул, содержащихся в одной граммолекуле. Например, для гелия 4г., и

Задача. Вычислить отношение величины перепада значений потенциальной энергии молекулы на разности высот в 1м в поле силы тяжести на поверхности Земли к величине кинетической энергии молекулы, движущейся со скоростью 500 м/сек.

Замечание. Как будет видно из дальнейшего, приблизительно таковы значения скорости теплового движения молекул кислорода и азота в составе воздуха при нормальной (комнатной) температуре.

Представление о молекулах как упругих шариках — ни что иное, как совокупность следующих свойств:

1. они заметно воздействуют друг на друга лишь когда сближаются на расстояние между центрами масс порядка диаметра молекулы-шарика;

2. при таком взаимодействии (соударении) сохраняются полная кинетическая энергия и количество движения пары.

Заметим в заключение описания свойств идеального газа, что реальный газ близок к идеальному по своим свойствам в случае одноатомных газов, таких, как гелий или аргон. Случай газов с многоатомными молекулами (H₂,N₂,O₂,CO₂,CH₄) более сложен для изучения, и наши рассмотрения мы начнём с идеального газа.

Важнейшим свойством идеального газа является то, что полная энергия его молекул в слабых внешних полях практически совпадает с их кинетической энергией. А полная энергия такого газа в простейшей термодинамической системе равна сумме кинетических энергий составляющих его молекул, которые следует рассматривать как материальные точки.

2. Вероятностные характеристики идеального газа

Предполагается, что простейшая термодинамическая система (далее ПТДС), изолированная от термостата (поршень неподвижен, теплообмен отсутствует, силовые поля отсутствуют) через короткий промежуток времени достигает состояния термодинамического равновесия:

1. плотность газа постоянна во всех точках, т.е. — число молекул в области G, где — объём области G, n — число молекул в единичном объёме не зависит от выбора G;

2. существует такая функция , что доля молекул в ПТДС, скорость которых для произвольной области даётся интегралом . В частности, если N — полное число молекул в ПТДС, то — общее число молекул, вектор скорости которых принадлежит .

Если диаметр области мал, то приближённо — количество молекул, скорость которых лежит в малой окрестности точки , даётся формулой

.

С вероятностной точки зрения скорость молекулы идеального газа можно рассматривать как случайную величину, спектр значений которой совпадает с , а плотность распределения равна .

Символически это записывается так:

,

и читается так: вероятность того, что случайный вектор принадлежит области из , равна интегралу по от — плотности распределения случайного вектора .

Понимать это утверждение следует так. Пусть наблюдатель произвёл n статических испытаний, т.е. n раз замерил скорость отдельной молекулы (первой попавшейся) из числа тех, что заполняют наш цилиндр. И пусть — число тех молекул, скорость которых попала в . Тогда . (Сравнить с бросанием монеты !). Плотность распределения — функция трёх переменных, компонент вектора , где – орты координатных осей декартовой системы координат.

Наряду со случайным вектором введём в рассмотрение скалярную случайную величину, равную проекции вектора скорости на некоторую прямую , и её плотность распределения . Естественно предположить, что вид функции не зависит от направления прямой, задаваемого ортом . Это означает, в частности, что компоненты вектора (проекции на орты ) – случайные величины имеют одну и ту же плотность распределения .

Между и существует связь:

, поскольку

для произвольного интервала на координатной оси .

Действительно, стоящий слева интеграл равен доле молекул ПТДС, первая компонента скорости которых принадлежит интервалу , а и могут принимать любые значения. Ведь условие не накладывает на них никаких ограничений. Именно поэтому справедливо равенство (**), а вместе с ним и (*).

Итак, – доля молекул, первая компонента которых принадлежит окрестности значения первой компоненты скорости . Тогда – доля молекул, у которых дополнительно известно, что вторая компонента скорости принадлежит окрестности точки на второй координатной оси (при том, что первая …).

Аналогичным образом есть доля молекул, вектор скорости которых принадлежит прямоугольному параллелепипеду с рёбрами вокруг точки . Но тот же смысл имеет и выражение , откуда мы получаем соотношение

.

На языке теории вероятностей такое равенство означает независимость случайных величин, представляющих собой компоненты вектора скорости молекулы идеального газа в декартовой системе координат в условиях термодинамического равновесия. Метод получения этого равенства не представляет собой доказательства, а лишь объясняет мотивы, по которым оно принимается нами за постулат.

Ясно, что по своему смыслу функции и удовлетворяют условиям:

1. ,

2. ,

и, аналогично (как следствие),

1. ,

2. .

Упражнение. Показать, что зависит только от или, что всё равно, от .

Далее будет найдено явное выражение для функций и .

3. Давление газа на стенки и уравнение состояния идеального газа

При упругом соударении молекулы с поршнем происходят следующие события:

1. первая компонента вектора , которая до столкновения была положительной, сохраняя свою абсолютную величину, меняет знак на противоположный, т.е. вектор после соударения превращается в вектор

2. для неподвижной стенки закон сохранения импульса , даёт равенство , где – сила, действующая на поршень со стороны молекулы в процессе соударения, – импульс, который приобрела стенка в процессе соударения.

Поскольку соударение длится очень недолго, единственная (первая) компонента вектора имеет график вида

За малый промежуток времени происходит огромное количество таких соударений, и на поршень, таким образом, будет со стороны газа действовать сила со средним по времени значением ,

где индексом занумерованы силы, отвечающие индивидуальным соударениям, происшедшим за промежуток времени .

Все молекулы, первая компонента скорости которых , находящиеся внутри объёма за время успеют долететь до поршня и передать ему импульс, равный . То же самое можно (с малой погрешностью) сказать и о молекулах, скорость которых принадлежит окрестности точки .

Общее число таких молекул рано, очевидно, выражению

,

переданный ими поршню импульс равен