123553 (Основы проектирования и конструирования), страница 3

,

где x_к, y_к, z_к - координаты точек приложения сил тяжести , действующих на частицы тела;

Р - равнодействующая сил тяжести.

Учитывая, что

, ,

из этих уравнений следует

;

;

.

Эта замена справедлива лишь в однородном поле тяжести, для которого g = const. Геометрическая точка С, координаты которой определяются последними формулами, называется центром масс или центром инерции механической системы. Момент инерции относительно оси.

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела на квадраты их расстояний от этой оси

.

В качестве примера приведем значения J_z для некоторых тел.Момент инерции тонкого однородного стержня длиной l, массой М относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через ее конец

.

Момент инерции тонкого круглого однородного кольца радиусом R, массой М относительно оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости

.

Момент инерции цилиндра относительно его оси

.

Момент инерции сплошного шара относительно его оси

.

Использование приведенных выше понятий позволяет вывести для систем теоремы динамики, некоторые из которых мы рассматривали раньше применительно к точке.

1.2 Основные понятия о важнейших свойствах конструкций технических систем: прочности, жесткости и устойчивости

Прочность, жесткость, устойчивость формы являются предметом науки, называемой сопротивлением материалов, которая является составной частью механики твердого тела.

1.2.1 Реальный объект и расчетная схема

Исследование реального объекта начинают с выбора расчетной схемы (модели). Для этого, перед тем как приступить к расчету конструкции, устанавливают, что в данном случае существенно и что несущественно. Необходимо произвести схематизацию объекта и отбросить все факторы, которые не оказывают значительного влияния на суть задачи. Это необходимо, поскольку учет всех факторов невозможен впоследствии их неисчерпаемости.

Реальный объект, мысленно освобожденный от несущественных особенностей, называется расчетной схемой. Для одного реального объекта может существовать несколько расчетных схем в зависимости от требуемой точности и целей расчета.

Построение расчетной схемы начинается со схематизации структуры и свойств материала. Принято рассматривать все материалы как сплошную среду - независимо от особенностей молекулярного строения вещества. Кроме того, среда считается однородной (несмотря на кристаллическое решение). Обычно среду считают изотропной (кроме анизотропных пластмасс).

Вводятся упрощения в геометрию реального объекта. Основным приемом здесь является приведение формы тела к схеме стержня. Под стержнем понимают тело, одно из измерений которого (длина) много больше двух других. Стержень может иметь поперечное сечение как постоянное, так и переменное вдоль оси. Многие сложные конструкции можно рассматривать, как состоящие из стержней. Их называют стержневыми системами. Часто стержень называют брусом или балкой.

Второй типовой геометрической схемой является оболочка. Это - тело, одно измерение которого (толщина) значительно меньше двух других.

В схеме делаются упрощения и в системе сил.

Например, нагрузку от подвески с грузом, распределенную по длине l, при расчете балки можно заменить сосредоточенной силой G.

1.2.2 Силы внешние и внутренние

Силы являются мерилом взаимодействия тел. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, то действие последних на конструкцию заменяется силами, которые называются внешними. Примером сил, распределенных по объему тела, является вес. В число внешних сил включаются и реакции связей, дополняющие систему сил до равновесной.

Взаимодействие между частями рассматриваемого объекта внутри очерченной области объекта характеризуется внутренними силами. Внутренние силы возникают не только между отдельными взаимодействующими узлами конструкции, но и между всеми сложными частицами объекта.

Например, если стержень нагружен силами Р₁, Р₂, …, Р_п, то в нем возникают внутренние силы, которые выявляются, если рассечь мысленно стержень сечением А на две части. Такой прием выявления внутренних сил называется методом сечений.

Так как связи между двумя половинами стержня устранены, их необходимо заменить системой внутренних сил. Из статики мы знаем, что из уравнений равновесия можно найти не закон распределения внутренних сил, а лишь их равнодействующую. Перенеся ее в центр тяжести сечения (что делается с введением пары сил), мы получим главный вектор R и главный момент М.

Выберем систему координат х, у, z таким образом, чтобы ось z была направлена нормально к плоскости сечения, а х и у располагались в этой плоскости.

Спроектировав R и М на эти оси, получим 6 составляющих: 3 силы и 3 момента. Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами в сечении стержня.

Составляющая N, направленная по оси z, называется нормальной или продольной силой в сечении.

Силы Q_x и Q_y называются поперечными силами. Момент относительно оси z (M_к) называется крутящим моментом, а моменты М_х и М_у - изгибающими моментами. Названные 6 составляющих находятся из уравнений равновесия для отсеченной части стержня.

1.2.3 Напряжения

Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру.

За нее принимается напряжение.

Рассмотрим в сечении А элементарную площадку F в окрестности точки К.

В пределах этой площадки действует внутренняя сила R (в другой площадке она может быть другой).

Тогда среднее напряжение в пределах площадки F равно

.

Поскольку среда непрерывна, мы можем уменьшать F, стягивая ее в точку К. При F  0.

,

[кгс/мм² или МПа, 1 кгс/мм² = 9,81 МПа].

Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке К в сечении А. Полное напряжение может быть разложено на 3 составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения. Составляющая по нормали  называется нормальным напряжением, составляющие в плоскости сечения  называются касательными напряжениями.

1.2.4 Перемещения и деформации

Абсолютно твердых тел в природе нет. Они обладают упругостью. Поэтому под действием внешних сил точки тела меняют свое положение в пространстве. Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец - в соответствующей точке деформированного, называется вектором полного перемещения точки. Его проекции на оси координат называются перемещениями по осям (u, v, w). Кроме линейных существуют угловые перемещения.

Если на систему наложены связи, исключающие ее перемещение в пространстве как жесткого целого, система называется кинематически неизменяемой. Именно эти системы изучает сопромат.

Для того, чтобы характеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела, рассмотрим точки А и В на теле до и после приложения к нему каких-то сил.

Первоначально расстояние между точками S.

В результате изменения формы тела S увеличилось на S. Отношение называют средним удлинением на отрезке S. Приближая В к А, в пределе получим

,

где - линейная деформация.

Для большинства материалов это малая величина.

Кроме линейной деформации есть и понятие угловой деформации (первоначально прямого угла).

1.2.5 Закон Гука

Закон Гука определяет линейную зависимость между напряжением и деформацией

,

где коэффициент пропорциональности Е является физической характеристикой конструкционного материала и называется модулем упругости (Юнга) первого рода. Он определяется экспериментально.

1.2.6 Растяжение и сжатие

Обычным является растяжение стержня силами Р, приложенными к его концам. Если воспользоваться методом сечений, то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях возникают нормальные силы N = P.

Сжатие в обычных случаях отличается от растяжения лишь знаком силы. Естественно предположить, что для однородного стержня внутренние силы распределены по сечению равномерно.

Тогда

или

,

где F - площадь поперечного сечения стержня.

Теперь на основании закона Гука может быть определено и удлинение стержня.

Подставив в уравнение закона Гука значения  и , получим

, откуда .

1.2.7 Статически неопределимые системы при растяжении и сжатии

Если в системе имеется связей больше, чем необходимо для обеспечения ее равновесия, то для определения внутренних сил в системе уравнений статики оказывается недостаточно. Такие системы называются статически неопределимыми. Раскрытие статической неопределимости возможно только путем составления уравнений, дополняющих число уравнений статики до числа неизвестных. Эти дополнительные уравнения отражают особенности геометрических связей, наложенных на деформируемые системы, и называются уравнениями перемещений. Рассмотрим пример: Прямой однородный стержень жестко закреплен по концам и нагружен продольной силой Р, приложенной на расстоянии одной трети длины от верхней заделки. Величина поперечного сечения стержня F. Требуется определить напряжения, возникающие в стержне. Система статически неопределима, поскольку реакции опор нельзя определить из одного уравнения

.

Уравнение перемещений должно отразить тот факт, что общая длина стержня не меняется. На сколько удлинится верхняя часть, на сколько сократится нижняя.

или

, откуда