122862 (Аналитические методы исследования температурных полей), страница 2

2016-07-30СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Аналитические методы исследования температурных полей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "промышленность, производство" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "промышленность, производство" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "122862"

Текст 2 страницы из документа "122862"

Подставляя выражения (а) – (в) в дифференциальное уравнение теплопроводности, получим тождество

(г)

Следовательно, решение (4.1) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности. Необходимо лишь убедиться в правильном выборе постоянного (не зависящего от х и t) сомножителя в выражении (4.1), очевидно, сокращающегося в тождестве (г).

По мере того, как тепло Q источника распространяется по телу, температуры отдельных точек тела изменяются, но общее теплосодержание остается постоянно равным Q. Подсчитаем теплосодержание тела Q(t) в процессе распространения (4.1) тепла точечного источника в любой момент времени t:

(4.2)

и проверим, остается ли оно постоянно равным Q.

Выражение 4πR2 представляет собой площадь изотермической сферической поверхности радиуса R. Подставим в выражение (4.2) уравнение процесса распространения тепла (4.1) и вычислим интеграл

Интеграл берем по частям

∫udp = up - ∫pdv

dp=exp{-R2/4at}·d(-R2/4at) =-exp{-R2/4at}·RdR/2at

p= exp{-R2/4at}; u=-2atR; du=-2atdR

Известно, что ; приведем к этому виду интеграл подстановкой , тогда

Подставим это значение интеграла в уравнение

Следовательно,

Теплосодержание Q(t) тела, нагретого мгновенным точечным источником, в любой момент процесса t равняется теплу Q, сосредоточенному в начальный момент в точке О, следовательно, постоянный сомножитель в уравнении (4.1) выбран правильно. Теплосодержание бесконечного тела остается постоянным, так как тело не теряет тепла в окружающую среду.

В начальный момент t = 0, формула (4.1) дает бесконечно большую температуру в точке О, T(0,0) → ∞, так как в этот момент конечное количество тепла Q сосредоточено в точке, т.е. в бесконечно малом элементе объема. Во всем объеме тела вне точечного источника начальная температура равна нулю, Т (R, 0) = 0. В весьма удаленных от источника точках тела R→∞ температура во все время процесса остается равной нулю, T(∞,t) → 0.

Изотермические поверхности представляют собой сферы. Убывание температуры по радиусу выражается множителем , в то время как множитель представляет убывание температуры точки R=0 во времени. Наибольшая температура всегда в точке R = 0.

Принцип наложения. В теле действует ряд сосредоточенных источников. Будем полагать коэффициенты λ, су и α независящими от температуры, тогда дифференциальное уравнение теплопроводности и граничные условия становятся линейными. Как известно, сумма любого числа частных решений линейного дифференциального уравнения также удовлетворяет этому уравнению. Поэтому тепло каждого источника распространяется по телу независимо от действия других источников, т.е. так, как и тепло от одиночного источника. Процессы распространения тепла отдельных источников не взаимодействуют между собой, а просто накладываются друг на друга. Принцип наложения состоит в том, что температура в процессе распространения тепла при совместном действии ряда источников рассматривается, как сумма температур от действия каждого из источников в отдельности.

Принцип наложения неприменим, если:

а) коэффициенты теплофизических свойств материала λ, сγ и коэффициент теплоотдачи α считать зависящими от температуры;

б) учитывать происходящие в теле изменения агрегатного состояния, связанные с поглощением или выделением тепла (плавление, отвердевание, структурные превращения).

Если теперь воспользоваться принципом наложения, то, комбинируя мгновенные точечные источники, можем получить множество иных источников теплоты.

Мгновенный линейный источник. Мгновенный линейный источник теплоты представляет собой комбинацию мгновенных точечных источников, действующих одновременно и расположенных по линии.

Температурное поле в пластине от мгновенного линейного источника при отсутствии теплоотдачи получается путем интегрирования температурных полей от мгновенных точечных источников

(4.3)

После преобразования и замены Q1=Q/δ, [дж/см] находим

(4.4)

здесь r2 = x2+y2 - квадрат расстояния от источника тепла OZ до точки тела A (x, y, z). Процесс (4.4) симметричен относительно оси OZ, и удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности для плоского поля. Температурное поле является плоским, т.е. температура не зависит от координаты z, так как размеры источника в направлении оси OZ неограничены; изотермические поверхности - круговые цилиндры с осью OZ.

Мгновенный плоский источник. Мгновенный плоский источник теплоты представляет собой совокупность мгновенных точечных источников теплоты, действующих одновременно и расположенных в одной плоскости. Под мгновенным плоским источником обычно понимают равномерное распределение Q по сечению.

Температурное поле от мгновенного плоского источника Q2= Q/F, [дж/см2] в стержне без теплоотдачи выражается уравнением

(4.5)

Процесс симметричен относительно плоскости YOZ и удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности (4.5) для линейного поля. Так как размеры источника в плоскости YOZ не ограничены, температурное поле является линейным, т.е. температура зависит только от координаты х. Изотермические поверхности-плоскости, параллельные YOZ.

Мгновенный объемный источник теплоты представляет собой совокупность мгновенных точечных источников, распределенных по какому-либо закону в теле. Используя принцип наложения, удается получить различные мгновенные источники, отличающиеся по распределенности. По существу только точечный источник является сосредоточенным по отношению ко всем координатным осям.

Линейный источник является сосредоточенным по отношению к двум координатным осям и распределенным в третьем направлении. Плоский источник является сосредоточенным лишь в одном направлении. Объемный источник может служить примером распределенного источника по всем направлениям.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5259
Авторов
на СтудИзбе
420
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее