115964 (Задачи в школьном курсе математики), страница 7

При закреплении определений необходимо предусмотреть упражнения на выделение существенных свойств понятий, на их запоминание, на установление взаимосвязей между существенными свойствами, на усвоение терминологии, на установление объема понятия, на узнавание понятия, на выделение «зоны поиска» понятия, на получение следствий из имеющихся свойств понятий, раскрытие взаимосвязей с другими понятиями.

При закреплении теорем упражнения способствуют анализу формулировки и ее усвоению, запоминанию, узнаванию, уяснению области применения теоремы, получению следствии из теорем, установлению взаимосвязей с различными теоремами.

При закреплении правил, предписаний отрабатываются отдельные шаги и действие целиком, выясняется область их применения, особые случаи их использования.

Умения и навыки создаются в процессе выполнения упражнений, но не всякая их система приводит к формированию соответствующих умений и навыков.

Вопрос о системах упражнений является объектом внимания методистов, психологов, учителей. Однако он еще не стал традиционным вопросом методики преподавания математики, таким, например, как методика решения задач, изучения понятий. Есть необходимость в специальном рассмотрении вопроса в силу следующего важного обстоятельства.

В ряде школьных учебных пособий системы упражнений страдают различными недостатками, очень часто учителю самому приходится отбирать упражнения из имеющейся системы. Учитель является главным лицом, предъявляющим систему упражнений. «Там, где начинается чуть-чуть, - заметил И.Е. Репин,- начинается искусство». Чтобы владеть этим «чуть-чуть», необходимо знать определенные закономерности. Укажем отдельные закономерности, которых полезно придерживаться при отборе и составлении системы упражнений и при их выполнении.

Принципы отбора и составления систем упражнений

Рассмотрим вначале реализацию при отборе и составлении системы упражнений одного из основных педагогических принципов - принципа систематичности. Анализируя процесс познания, исходя из этого принципа, можно выделить следующие этапы при изучении нового материала (понятий, теорем, правил): изучение понятия, теоремы, правила как отдельно взятого факта, изолированного от ранее изученного материала, как факта самого по себе; установление связей между вновь изученным фактом и ранее изученным материалом, включение нового в различные системы изученного; систематизация накопленного материала с учетом вновь изученного факта.

Соответственно этим этапам все упражнения можно разделить на три вида: упражнения на изучение отдельных фактов изолированно от ранее изученного; упражнения, связывающий новый факт с ранее изученным, позволяющие рассматривать новый факт как элемент других систем и, наконец, упражнения на систематизацию изученного материала. Остановимся кратко на каждом виде упражнений.

Когда можно считать понятие, теорему, правило усвоенными учеником? Это возможно, если ученик понимает каждое слово в формулировке, запоминает формулировку, узнает и применяет их в стандартных и нестандартных ситуациях, когда факт встроен в имеющуюся систему знаний и умений.

Первый вид упражнений обеспечивает понимание и запоминание, а также узнавание и применение понятия, теоремы, правила в простейших случаях. Первый вид упражнений способствует рассмотрению объекта вне содержащей его системы. При этом объект подвергается всестороннему анализу. Эти упражнения не несут нагрузки в плане создания системы знаний. Упражнения этого вида, как правило, не требуют привлечения дополнительных сведений, кроме изученного факта. При отборе и составлении упражнений на этом этапе необходим детальный анализ формулировки определений, теорем, правил. Каждая составная их часть, каждое существенное свойство и отношения между ними находят свое отражение в упражнениях этого вида. Упражнения первого вида включают в себя отработку всех существенных сторон понятий, теорем, правил.

Например, при изучении понятия гомотетии упражнения первого вида могут выглядеть следующим образом:

1. Укажите, что означает тот факт, что гомотетия является преобразованием фигуры.

2. Обоснуйте, почему в равенстве .

3. Укажите порядок действий при построении точки, гомотетичной данной, с центром гомотетии 0 и коэффициентом к.

4. Постройте точки, в которые переходит данная точка при гомотетии с центром 0 и коэффициентом: а) 2; 6) 5; в) ; г) 1.

5. Укажите положение точки А, если известен центр и коэффициент гомотетии и точка , в которую перешла точка А.

6. Найдите коэффициент гомотетии, если известно положение трех точек О, X, , где О - центр гомотетии, X - данная точка, - ей гомотетичная.

Второй вид упражнений предполагает связывание вновь изученного материала с ранее изученным. Происходит многократное взаимодействие различных систем знаний, развитие старых знаний под воздействием новых.

Одновременно этот вид упражнений является препятствием на пути забывания старого, что происходит достаточно интенсивно, это подтверждает график забывания информации

Отдельные авторы считают, что выходом из такого положения является включение упражнений на повторение, сходных по некоторым несущественным признакам с упражнениями на закрепление нового материала, но в существенной части отличных от них.

Например, при решении упражнений на умножение смешанных чисел одновременно выполняются упражнения на сложение смешанных чисел. Такие упражнения одновременно выполняют функцию контрпримеров при изучении нового, что позволяет концентрировать внимание решающих на существенном и формировать устойчивые умения.

Такой подход важен, но не менее важно целенаправленное непрерывное повторение, непосредственно связываемое с изучением нового. Оно актуально также вследствие дефицита времени на организацию специального повторения. Непрерывное повторение позволит организовать рассредоточенное повторение материала, которое, является более эффективным, чем концентрированное. При необходимости любое содержание из изученного ранее может быть повторено при решении задач на применение вновь изученного материала.

Например, в действующих пособиях по планиметрии изучается богатая по своему применению теорема о вписанном угле. Применение этой теоремы может быть значительно расширено за счет установления взаимосвязей названной теоремы с такими разделами, как, например, координаты, векторы и т. д. Приведем примеры таких задач.

ЗАДАЧА 1. Даны три точки А(1;1), В(4;I), С(4;5). Доказать, что центр описанной около треугольника АВС окружности лежит на одной из его сторон.

ЗАДАЧА 2. Найти углы, образованные радиусами АО, ВО и ОС окружности, описанной около треугольника АВС, если А (0;3), В (2;3), С и т. д.

Аналогично можно связать с системой ранее изученного любое вновь изучаемое содержание.

Третий вид упражнений упражнения на систематизацию материала, полученного при выполнении упражнений первого и второго видов. Это могут быть упражнения на классификацию понятий, на установление генетических взаимосвязей между понятиями.

Например, установить зависимость между понятиями «подобие», «движение», «преобразование фигуры» (провести стрелки от более общего понятия к менее общему).

Составление генеалогических деревьев для понятия предполагает связывание в систему нескольких понятий раздела. Например, для понятия «угол» родословная таблица может выглядеть следующим образом:

Упражнениями третьего вида могут быть упражнения: на установление взаимосвязей между теоремами, например, указать взаимосвязь между теоремами Пифагора и косинусов; на построение родословных теорем, выделение свойств и признаков понятия, на группировку задач, теорем по методам их решения, доказательства.

Возможна систематизация материала по различным основаниям: выделение всех известных свойств некоторого понятия, всех полученных признаков, различных инвариантов преобразований, выделение сходного и различного в определениях, теоремах, методах решения, проведение сравнения и обобщения. Например:

• выделить все известные свойства подобных треугольников:

• сформулировать все признаки подобных треугольников;

• перечислить преобразования фигур, которые сохраняют неподвижной хотя бы одну точку;

- указать различие в положении соответствующих при гомотетии точек, если к > I, к = I и к < I;

- выделить общие свойства равностороннего треугольника и квадрата;

• сравнить свойства равных и подобных треугольников;

• сравнить признаки равных и подобных треугольников;

• привести примеры понятий, в определении которых используется понятие равных отрезков;

- привести возможные различные определения понятия квадрат и т. д.

Систематизации знаний, их гибкости способствует выполнение упражнений, направленных на выявление возможных различий в чем-то сходных ситуаций, требующих использования различных теоретических сведений. Пример такого упражнения: покажите, как следует провести плоскость сечения, чтобы в сечении куба этой плоскостью получить: 1) квадрат; 2) прямоугольник; 3) трапецию; 4) четырехугольник, не имеющий параллельных сторон; 5) равносторонний треугольник; 6) равнобедренный треугольник; 7) разносторонний треугольник; 8) прямоугольный треугольник.

Уровни систематизации материала при этом могут быть различными: локальная систематизация на уровне двух фактов, систематизация внутри одной темы, внутри нескольких тем, внутри всего предмета, между предметами.

Формы систематизации (уроки по обобщению и систематизации материала) описаны в методической литературе.

При отборе и выполнении системы упражнений важно соблюдение принципа последовательности. Этот принцип лежит в основе составления программ, написания учебников. При составлении и подборе систем упражнений он проявляется в том, что упражнения располагаются в порядке возрастания сложности: от менее сложного к более сложному, от менее трудного к более трудному, от более известного к менее известному. При этом в предлагаемых упражнениях производится вариация несущественного. Выделим, например, что может и должно варьироваться при изучении формулы разности квадратов двух выражений: это и обозначения переменных и наличие различных коэффициентов в выражениях, состав каждого выражения, порядок написания компонента вычитания и т. д. При этом следует придерживаться традиционной рекомендации: при переходе от одного упражнения к другому добавлять шаги решения следует постепенно, по одному. «По одной трудности за раз», как говорил К.Д. Ушинский. Это необходимо для того, чтобы при выполнении упражнений не требовалось существенных обобщений, значительных скачков мысли, на которые способны далеко не все учащиеся. Система упражнений по упомянутому правилу может быть следующей: а) ; б) х2 - у2; в) х4 - у2; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

Перечисленные упражнения - это лишь представители видов, сама система содержит несколько упражнений каждого вида. При этом следует иметь в виду, что умение выполнить действие в стандартной ситуации не обеспечивает овладение этим действием в особенных случаях. Другими словами, без наличия упражнений на различные варианты широкого переноса нельзя обеспечить обобщенного умения учащихся. Ученику, не встречавшемуся с различными вариациями упражнений, приходится совершать акт творчества, на которое способен не каждый ученик.

Какие особые случаи могут иметь место при рассмотрении формулы разности квадратов двух выражений? Это применение формулы, когда одно из выражений или даже оба равны некоторому числу, в частности единице, когда слагаемое с минусом стоит на первом месте, когда одно или оба выражения являются двучленами или многочленами.

Значит, имеющийся набор упражнений следует дополнить упражнениями следующего вида: