115964 (Задачи в школьном курсе математики), страница 5

Найти общее решение данной задачи можно, но довольно трудно, а решить ее в трех случаях, когда а < 0, и а >1, не представляет труда. Например, если а<0, то выражение слева можно представить как , которое принимает лишь положительные значения. Если , то его же можно представить как , и тогда очевидно, что оно принимает положительные значения в рассматриваемом промежутке. Если а>1, то выражение можно представить как . Рассмотренные три случая полностью исчерпывают все возможные значения параметра а.

Метод суперпозиции не следует смешивать еще с одной эвристикой - рассмотрением частных случаев, которые не исчерпывают всех возможных случаев. Тогда вывод, полученный по индукции, требует доказательства.

Иногда для поиска идеи решения задачи полезно рассмотреть какой-нибудь крайний, предельный случай. Эта эвристика так и называется «предельный случай ». Рассмотрим задачу: доказать, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного тетраэдра до его граней есть величина постоянная.

Чтобы доказать требование, желательно предварительно выяснить, что это за величина. Для этого и используется предельный случай. Возьмем в качестве произвольной точки одну из вершин тетраэдра. Тогда легко обнаружить искомую величину. Сумма расстояний от любой точки внутри тетраэдра до всех его граней равна высоте тетраэдра. С помощью предельного случая производится уточнение требования, его переформулировка, а для поиска пути доказательства могут быть привлечены другие эвристики.

Довольно часто при поиске решения задач может помочь еще одна эвристика - прием обобщения, когда вместо имеющейся задачи решается другая, более общая по отношению к данной.

Например, требуется определить, какое число больше: 19971998 или 19981997.

Преобразование разности этих выражений к успеху не приводит. Но если выражения прологарифмировать: 1998 lg 1997 и 1997 lg 1998, то вместо исходных можно сравнивать выражения и , тогда оказывается, что сравнивать надо два значения функции , т. е. требуется решить вопрос, какой характер монотонности имеет функция, а это стандартная задача.

Очень важной эвристикой, используемой при решении большого числа задач, является выделение подзадач, решение которых не составляет труда, внутри основной задачи. Тем самым упрощается структура основной задачи.

ЗАДАЧА. Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного из них была 15 км/ч, а другого-10 км/ч. Вместе с первым велосипедистом выбежала собака со скоростью 20 км/ч. Встретив второго велосипедиста, собака повернула обратно и побежала навстречу первому велосипедисту. Встретив первого велосипедиста, она снова повернула. Собака бегала между велосипедистами до тех пор, пока велосипедисты встретились. Сколько километров пробежала собака?

Если решение задачи начинать с рассмотрения движения собаки и второго велосипедиста, то перед решающим встает необходимость рассматривать последовательность встречных движений, что может оказаться очень непростым делом. А если внутри основной задачи выделить в качестве элементарной подзадачи движение велосипедистов навстречу друг другу, в которой требуется определить время до их встречи, то сразу вырисовывается и вторая элементарная подзадача - движение собаки, скорость и время которой известны, а маршрут движения - безразличен.

Прием выделения подзадач внутри основной задачи применяется при решении подавляющего большинства задач. Этот прием используется, в частности, когда решается любая задача на описанные и вписанные в сферу многогранники, когда требуется, например, доказать, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте пирамиды; что основание перпендикуляра, опущенного из любой точки высоты пирамиды на боковую грань, попадает на апофему боковой грани. Не зная, как решить задачу, решающий часто проводит рассуждения по схеме: «По данным задачи я могу найти то-то и то-то, а что это мне дает для решения основной задачи?»

При решении ряда задач может оказаться полезным метод непрерывных величин. При этом используется следующее положение: если некоторая величина меняется непрерывно в зависимости от некоторой другой величины и при этом при разных значениях второй величины значения первой окажутся больше и меньше некоторого числа С, то это означает, что существует значение второй величины, при котором значение первой равно С. Рассмотрим задачу.

ЗАДАЧА. На плоскости начерчен квадрат и не перекрывающийся с ним треугольник (см. рис.). Существует ли прямая, которая разделила бы одновременно каждую из этих фигур на две равновеликие части.

Заметим, во-первых, что любая прямая, проходящая через центр квадрата, разбивает его на две равновеликие части. При этом справедливо и обратное предложение. Следовательно, задачу можно переформулировать следующим образом: провести через точку О прямую так, чтобы она разбивала треугольник на две равновеликие части. Вначале рассмотрим некоторую прямую l, не пересекающую треугольник.

Затем начнем вращать эту прямую вокруг точки О. Тогда оказывается, что при некотором положении прямой площадь «заметенной» части треугольника меньше , а в какой-то момент, при достаточном угле поворота прямой, эта прямая заметет площадь, большую . Так как величина заметенной площади меняется непрерывно (малому изменению значения угла поворота соответствует малое изменение значения заметенной площади), то найдется такое значение угла поворота прямой, при котором величина «заметенной» части станет равной .

Метод вспомогательных неизвестных - эвристика, используемая как при решении алгебраических задач, так и при решении геометрических задач. Рассматриваемый метод имеет три модификации: когда при замене число переменных или уменьшается, или увеличивается, или остается неизменным. Цепи введения вспомогательных неизвестных при этом различные. Рассмотрим три задачи.

ЗАДАЧА 1 . Доказать, что при любых действительных, отличных от нуля х и у, справедливо неравенство:

, .

, .

И вместо исходного неравенства получаем: или .

Неравенство (*) выполняется для всех U, кроме .

Однако , т.е. . Значит, исходное неравенство выполняется при всех допустимых значениях х и у.

ЗАДАЧА 2. В качестве второго примера, когда при замене число переменных сохраняется, рассмотрим решение уравнения: .

Замена сводит исходное уравнение к достаточно хорошо известной форме: .

В качестве третьего примера рассмотрим стереометрическую задачу.

ЗАДАЧА 3. Около правильной треугольной пирамиды с плоским углом при вершине описана сфера. Найти отношение объема пирамиды к объему шара, ограниченного сферой.

В этой задаче требуется найти отношение величин. Объем выражается через значения каких-то линейных элементов, которые в задаче не заданы. Однако задача имеет решение, т. к. данный угол определяет всю задачную ситуацию с точностью до подобия.

Оказывается, что если какой-нибудь линейный элемент, например, сторону основания пирамиды, взять за неизвестное х, то все остальные линейные величины можно выразить через х и . При нахождении искомого отношения задачи вновь введенная переменная х сократится.

Ограничимся рассмотренными примерами эвристик как наиболее часто встречающихся при решении математических задач. Но не только математических. Методы анализа, переформулирования, рассмотрение частных и предельных случаев используются при решении физических, технических и задач других областей знаний.

Надо ли знакомить учащихся с эвристиками специально? Решающие находят, изобретают эвристики и сами. Но для этого нужны значительные усилия и время. Учителю полезно обратить внимание учащихся на метод, с помощью которого удалось осуществить поиск решения трудной задачи. Это можно сделать после решения задачи с помощью вопросов типа: «Как удалось переформулировать требование (условие) задачи?»; «Какие подзадачи удалось выделить, облегчив решение основной?»; «Как при решении задачи была использована аналогия?» Так постепенно вместе с учителем учащиеся осознают многие из используемых ими приемов, что позволит в дальнейшем сознательно привлекать их к решению других задач. При этом поиск решения становится более эффективным. Владение эвристиками расширяет творческие возможности учащихся.

И еще одно замечание относительно эвристик. Как правило, в чистом виде единичные эвристики при решений задач не применяются. Имеет место использование некоторой совокупности эвристик. Ни одна задача не обходится без методов анализа, переформулирования, выделения известных подзадач.

В методике Р.Г. Хазанкина, известного учителя из Белорецка, обучение эвристикам можно усмотреть в его методике решения «ключевых» задач. Ключевыми он называет задачи раздела, при решении которых раскрываются основные математические идеи, используемые для решения большого класса задач. Уроки решения «ключевых» задач проводятся в форме лекции, после чего учащиеся пытаются использовать рассмотренные идеи при решении других задач раздела.

4. Организация обучения решению математических задач

Фронтальное решение задач. Под фронтальным решением задач обычно понимают решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.

1) Устное фронтальное решение задач наиболее распространено в IV-VII классах, несколько реже, хотя и находит применение, в старших классах средней школы. Это прежде всего выполняемые устно упражнения в вычислениях или тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. В настоящее время учителя математики IV-VII классов почти на каждом уроке проводят "пятиминутки" устных упражнений. К сожалению, часто этим и ограничивается выполнение устных упражнений. А надо отметить, что одной из задач обучения математике является обучение быстрым устным вычислениям. Решения этой задачи надо добиваться на всех этапах обучения, поэтому там, где это возможно (а не только на "пятиминутках" устного счета), вычисления следует выполнять устно. Если ученики научатся устно выполнять вычисления и несложные преобразования, то на уроках математики, физики, химии освободится значительная часть времени, которое сейчас расходуется на нерациональное выполнение вычислений и выкладок.

При организации устных фронтальных упражнений следует учесть, что использование табличек, таблиц, кодоскопа и других средств представления учащимся устной задачи значительно экономит время устных упражнений и оживляет уроки математики.

Таблички изготавливает обычно учитель или отдельные ученики по его заданию. Например, таблички с заданиями для устных вычислений при изучении умножения дробных и целых чисел (удобные размеры табличек 300 х 150мм).

Таблицы для устных упражнений могут иметь различную форм и применяются неоднократно с различными заданиями.

Как таблички, так и таблицы могут быть изображены на пленке и спроецированы на экран или доску через кодоскоп. Изготовление табличек и таблиц - более трудоемкое дело, чем кодопозитивов, а результаты использования практически равноценны.

2) Письменное решение задач с записью на классной доске. В практике обучения немало таких ситуаций, в которых удобнее, чтобы одну и ту же задачу решали все ученики класса одновременно с решением этой же задачи на доске. При этом задачу на доске может решать либо учитель, либо ученик по указанию учителя.

Наиболее часто такую организацию решения задач на уроках математики применяют: а) при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами; б) при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса; в) при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего варианта; г) при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задачи и т.д. Во всех этих случаях бывает полезно и коллективное решение (или коллективный разбор решения задач).