85956 (Р.Т. Галусарьян. Сборник задач и упражнений по курсу "Высшая математика"), страница 3

Задача 1. Найти первую производную функции:

Задача 2. Найти первую производную функции:

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15. 2.16.

2.17. 2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

2.26.

2.27.

2.28.

2.29.

2.30.

Задача 3. Найти первую производную функции:

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10. 3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

3.17. 3.18.

3.19. 3.20.

3.21. 3.22.

3.23. 3.24.

3.25. 3.26.

3.27. 3.28.

3.29. 3.30.

Задача 4. Найти первую производную функции:

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

4.13. 4.14.

4.15. 4.16.

4.17. 4.18.

4.19. 4.20.

4.21. 4.22.

4.23. 4.24.

4.25. 4.26.

4.27. 4.28.

4.29. 4.30.

Задача 5. Найти первую производную функции:

5.1. 5.2.

5.3 5.4.

5.5. 5.6.

5.7. 5.8.

5.9. 5.10.

5.11. 5.12.

5.13. 5.14.

5.15. 5.16.

5.17. 5.18.

5.19. 5.20.

5.21. 5.22.

5.23 5.24.

5.25. 5.26.

5.27. 5.28.

5.29. 5.30.

Задача 6. Найти первую производную функции:

6.1. 6.2.

6.3. 6.4.

6.5. 6.6.

6.7. 6.8.

6.9. 6.10.

6.11. 6.12.

6.13. 6.14.

6.15. 6.16.

6.17. 6.18.

6.19. 6.20.

6.21. 6.22.

6.23. 6.24.

6.25. 6.26.

6.27. 6.28.

6.29. 6.30.

Задача 7. Найти п-ую производную функции:

7.1.

7.11.

7.12.

7.13.

7.14.

7.16.

7.17.

7.19.

7.20.

7.22.

7.24.

7.25.

7.26.

7.28.

7.29.

7.30.

Задача 8. С помощью формулы Лейбница найти указанную производную данной функции:

8.4.

8.5.

8.6.

8.7.

8.8.

8.9.

8.10.

8.11.

8.12.

8.13.

8.14.

8.15.

8.16.

8.17.

8.18.

8.19.

8.20.

8.21.

8.22.

8.23.

8.24.

8.25.

8.26.

8.27.

8.28.

8.29.

8.30.

Задача 9. Найти первую и вторую производные от функции у(х), заданной неявно:

9.1. 9.2.

9.3. 9.4.

9.5. 9.6.

9.7. 9.8.

9.9. 9.10.

9.11. 9.12.

9.13. 9.14.

9.15. 9.16.

9.17. 9.18.

9.19. 9.20.

9.21. 9.22.

9.23. 9.24.

9.25. 9.26.

9.27. 9.28.

9.29. 9.30.

Задача 10. Найти первую и вторую производные от функции у(х), заданной параметрически:

10.1. 10.2.

10.3. 10.4.

10.5. 10.6.

10.7. 10.8.

10.9. 10.10.

10.11. 10.12.

10.13. 10.14.

10.15. 10.16.

10.17. 10.18.

10.19. 10.20.

10.21. 10.22.

10.23. 10.24.

10.25. 10.26.

10.27. 10.28.

10.29. 10.30.

Задача 11. Используя геометрический смысл производной, решить следующую задачу:

11.1 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=4х – х², равна квадрату абсциссы точки касания.

11.2 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у=1 – х²/4, равна расстоянию от точки касания до начала координат.

11.3 Через произвольную точку кривой ху = 4 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

11.4 Через произвольную точку кривой ху = х+2 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую у = 1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.

11.5 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой у = 2/(1 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 1.

11.6 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=3хlnx+5x, равна утроенной абсциссе точки касания.

11.7 Через произвольную точку кривой у = а х³ проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 2/3 абсциссы точки касания.

11.8 Через произвольную точку кривой у=х² + 2/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 3.

11.9 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=5х –2 х², равна удвоенному квадрату абсциссы точки касания.

11.10 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у= х²/2 – 1/2, равна расстоянию от точки касания до начала координат.

11.11 Через произвольную точку кривой ху = 2 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

11.12 Через произвольную точку кривой ху=2х+3 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую у = 2 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.

11.13 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой , ординатой точки касания и осью абсцисс равна 2.

11.14 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой , равна удвоенной абсциссе точки касания.

11.15 Через произвольную точку кривой у = 3х⁴ проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 3/4 абсциссы точки касания.

11.16 Через произвольную точку кривой у = х² + 18/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 27.

11.17 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у= –3х²–1, равна утроенному квадрату абсциссы точки касания.

11.18 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у=1/8 – 2х², равна расстоянию от точки касания до начала координат.

11.19 Через произвольную точку кривой ху = 8 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

11.20 Через произвольную точку кривой проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.

11.21 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой у = 8/(2 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 4.

11.22 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=хlnx+9x, равна абсциссе точки касания.

11.23 Через произвольную точку кривой проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 4/5 абсциссы точки касания.

11.24 Через произвольную точку кривой у=3х² + 8/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 12.

11.25 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у = 3х – х²/2 равна половине квадрата абсциссы точки касания.

11.26 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой , равна расстоянию от точки касания до начала координат.

11.27 Через произвольную точку кривой ху = 12 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

11.28 Через произвольную точку кривой ху+4х=2 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.

11.29 Доказать, что площадь треугольника, образованного между касательной к кривой у = 10/(4 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 5.

11.30 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=0,5хlnx+2x, равна половине абсциссе точки касания.

Задача 12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке:

12.1. 12.2.

12.3.

12.4.

12.5.

12.6.

12.7.

12.8.

12.9.

12.10.

12.11.

12.12.

12.13.

12.14.

12.15.

12.16 12.17.

12.18.

12.19.

12.20.

12.21.

12.22.

12.23.

12.24.

12.25.

12.26.

12.27.

12.28.

12.29.

12.30.

Задача 13. Исследовать функцию и построить график:

13.1. а) , б)

13.2. а) , б)

13.3. а) , б)

13.4. а) , б)

13.5. а) , б)

13.6. а) , б)

13.7. а) , б)

13.8 а) , б)

13.9. а) , б)

13.10. а) , б)

13.11. а) , б)

13.12. а) , б)

13.13. а) , б)

13.14. а) , б)

13.15. а) , б)

13.16. а) , б)

13.17. а) , б)

13.18. а) , б)

13.19. а) , б)

13.20. а) , б)

13.21. а) , б)

13.22. а) , б)

13.23. а) , б)

13.24. а) , б)

13.25. а) , б)

13.26. а) , б)

13.27. а) , б)

13.28. а) , б)

13.29. а) , б)

13.30. а) , б)

Глава 5. Семинарские занятия

§ 5.1 Cеминар: Применение производной при исследовании функции

Основные вопросы

1. Признаки монотонности функции.

2.Необходимое условие существования экстремума.

3. Критические точки на экстремум.

4. Достаточные условия существования экстремума.

5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.