63249 (Теория автоматического управления), страница 4

8. ОБЛАСТЬ УСТОЙЧИВОСТИ

Область устойчивости в пространстве варьируемых параметров рассчитывается и строится для оценки границ возможного их изменения без нарушения устойчивости САУ.

Параметры, в пространстве которых должна быть построена область устойчивости, определены заданием. Построение может быть осуществлено применением аналитических методов (Д-разбиение, определители Гурвица и др.) или с помощью специальной компьютерной программы “Расчёт областей устойчивости”. Предпочтительным является аналитический метод с проверкой результатов расчёта на компьютере.

В качестве примера ниже приведены расчет и построение области устойчивости САУ по рис.3.1 в плоскости параметров Ку и Кос.

Характеристическое уравнение замкнутой САУ

Д_з(р) = 0.8Р³ + (5.7 + 6.4 КуКос)Р² + (8.7 + 0.8 КуКос)Р + 1 + 0.48Ку=0

целесообразно представить в виде

1 1 1 1

Д_з(р) = --- 0.8 Р³+--- 5.7Р²+6. 4 КосР²+--- 8.7Р+0.8 КосР+---+0.48=0, (8.1)

Ку Ку Ку Ку или

1

Д_з(р) = ------ S( P) + КосR(P) + Q(P) = 0 ,

Ку

где S(P) = 0.8Р³ + 5.7Р² + 8.7Р + 1;

R(P) = 6.4Р² + 0.8Р;

Q(P) = 0.48

Положим Р = j, тогда

S(j) = - j 0.8³ - 5.7² + j8.7 + 1 = ₁() + jy₁();

R(j) = - 6.4² + j 0.8 = ₂() + jy₂();

Q(j) = 0.48 = ₃() + jy₃(),

Где ₁() = - 5.7² + 1; y₁() = - 0.8³ + 8.7;

₂() = - 6.4²; y₂() = 0.8;

₃() = 0.48; y₃() = 0.

Составим определители:

- ₃() ₂()

₁() = = - 0.384;

- y₃() y₂()

₁() - ₃()

₂() = = - 0.384³ + 4.176;

y₁() - y₃()

₁() ₂()

() = = - 5.12⁵ + 5.12³ + 0.8.

y₁() y₂()

Искомые параметры, соответствующие координатам границы Д - разбиения,

()

Ку() = ------------ = 13.34⁴ - 131.125² - 2.08; (8.2)

₁()

₂() 0.48² - 5.22

Кос() = —----------- = ------------------------------------------- (8.3)

() 6.4⁴ - 63.9² - 1

Из приведенных выражений следует:

а) Ку() = 0 при = 3.16 рад/с;

Ку() > 0 при > 3.16 рад/с;

Ку() < 0 при < 3.16 рад/с;

б) Кос() = 0 при = 3.298 рад/с;

К о с () > 0 при 0 < 3. 298 рад/с;

К о с () < 0 при 3.16 < < 3. 298 рад/с;

в) при = 0 имеет место особая прямая, уравнение которой получим, приравняв нулю свободный член характеристического полинома

1 + 0.4 Ку = 0, откуда Ку = - 2.08

Примечание: Для получения особой прямой при = следует приравнять нулю коэффициент при старшей степени характеристического полинома. В рассматриваемом случае указанная особая прямая отсутствует.

г) () > 0 при 0 < < 3.16, -3.16 < < 0.

Граница Д - разбиения приведена на рис.8.1 (с целью наглядности в разных квадрантах приняты разные масштабы по осям координат). Учитывая, что в Д-разбиении фигурирует параметр 1/Ку (см.8.1), а графическое построение осуществлено относительно параметра Ку (ось абсцисс), штриховка нанесена на правую часть кривой по направлению обхода от = 0 до = при () > 0 и левую - при () < 0. Особая прямая снабжена одинарной штриховкой, направленной в сторону штриховки основной кривой.

Претендентом на область устойчивость является практически весь первый квадрант плоскости Ку, Кос.

Для определения области устойчивости положим Ку = 20 и Кос = 20. Для устойчивости рассматриваемой САУ третьего порядка по Гурвицу достаточно, чтобы ₂ = (5.7+6.4КуКос)(8.7+0.8КуКос) - 0.8(1+0.48Ку) > 0 что при указанных значениях параметров выполняется. Поэтому претендент является областью устойчивости.

Рис.8.1. Граница Д - разбиения САУ рис.3.1 в плоскости параметров Ку, Кос.

Из рис.8.1 следует, что по условиям устойчивости САУ рис.3.1 значения Ку, Кос могут быть выбраны в очень широких диапазонах (практически от 0 до + ). Поэтому целесообразно эти значения определять, исходя из других условий (например обеспечение заданного статизма и качества управления).

9. ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ

Запас устойчивости является мерой количественной оценки степени отстроенности параметров САУ от границы устойчивости, определяемой в соответствии с критерием Найквиста удаленностью (по модулю и фазе) годографа КЧХ (АФХ) разомкнутой системы от критической точки (-1.0; j0).

Запас устойчивости по модулю определяется величиной

H = 1.0 - W_p(j_о), (9.1)

где W_p(j_о) - модуль КЧХ (АЧХ) при частоте _о, соответствующей пересечению годографом W_p(j) отрицательной полуоси вещественных величин.

Запас устойчивости по фазе соответствует углу

= - argW_p(j₁), (9.2)

где - argW_p(j₁) - аргумент КЧХ (АЧХ) при частоте ₁, соответствующей пересечению годографом W_p(j) окружности единичного радиуса.

Запас устойчивости может быть определен аналитически, графически по годографу КЧХ(АФХ), а также по логарифмическим АЧХ и ФЧХ.

Для аналитического определения H следует решить относительно _о уравнение

Vp (_о)

arctg ----------------- =

Up (_о)

и подставить найденное _о в (9.1).

Аналогично, для определения необходимо из уравнения

U²p (₁) + V²p(₁) = 1.0

найти значение ₁ и подставить его в (9.2).

Графическое определение Н и по КЧХ не нуждается в пояснениях. Следует только иметь в виду, что для определения непосредственно из графика должны быть приняты одинаковыми масштабы по осям координат комплексной плоскости.

Для определения запасов устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам следует рассмотреть интервал частот, для которого L() > 0. На этом интервале значение L(_о), соответствующее частоте _о, при которой (_о) = - (-3, -5, ...) определяет запас по модулю (в децибелах). Аналогично, значение (₁), соответствующее частоте ₁, при которой L(₁) = 0, дает запас устойчивости по фазе.

В качестве примера на рис.9.1. приведен годограф КЧХ разомкнутой САУ рис.3.1 Годограф не пересекает полуось отрицательных вещественных величин, поэтому H = 1.0. Запас устойчивости по фазе = 70 определен по пересечению годографа с окружностью единичного радиуса. Полученные значения H и свидетельствуют о достаточно высоком запасе устойчивости замкнутой САУ рис.3.1.

Рис.9.1. КЧХ разомкнутой САУ рис.3.1 при Ку = 20, Кос = 20.

10. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ РАБОТЫ

Результаты курсовой работы представляются в виде пояснительной записки, оформленной в соответствии с требованиями государственного стандарта ГОСТ 7.392-91 “Отчет о НИР. Структура и правила оформления”.

Содержание пояснительной записки должно соответствовать заданию, текст которого с указанием номера варианта и конкретных исходных данных должен быть приведен непосредственно за титульным листом и входить в общую нумерацию страниц.

Каждый раздел пояснительной записки должен содержать краткую постановку задачи проводимого исследования, указание на используемые методы, необходимые математические выражения и их преобразования, графические иллюстрации, а также краткие комментарии (выводы) полученных результатов.

Содержанием графических иллюстраций должны быть:

- исходная структурная схема заданной САУ с указанием заданных передаточных функций звеньев и точек приложения воздействий;

- структурная схема САУ, полученная после эквивалентных преобразований (при необходимости);

- статические, переходные и частотные характеристики, соответствующие заданным входным воздействиям и различным значениям варьируемых параметров;

- графическое представление на комплексной плоскости нулей и полюсов эквивалентных передаточных функций САУ;

- область (или области) устойчивости в пространстве варьируемых параметров с обязательным указанием точки, координаты которой соответствуют принятым значениям этих параметров;

- графическая оценка запаса устойчивости САУ (при необходимости).

При представлении графиков (характеристик) должны быть обозначены координатные оси, указаны масштабы по осям или приведена координатная сетка. Подрисуночная надпись должна содержать информацию о значениях параметров, которым соответствует приводимая характеристика.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ должны быть приведены краткие выводы о свойствах исследуемой системы, числовые значения показателей качества управления, их оценка и, по возможности, рекомендации по их улучшению.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коротков В.Ф. Основы линейной теории автоматического управления в задачах электроэнергетики: Учебное пособие с компьютерным лабораторным практикумом АОС - ТАУ / Иван. Гос. Энерг. ун-т. - Иваново, 1994. - 392 с.