Систематична похибка опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності

Підкреслимо одну важливу особливість результатів опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності у порівнянні з результатами прямих багаторазових вимірювань. Якщо в результатах одноразових спостережень систематичні похибки вилучені, то математичне сподівання середнього арифметичного ряду прямих рівнорозсіяних спостережень дорівнює істинному значенню вимірюваної величини, тобто результати прямих виправлених спостережень вільні від систематичних похибок. На відміну від цього, математичне сподівання похибки результату опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності, яка визначається певною формулою, не дорівнює нулю, тобто похибка результату такого опосередкованого вимірювання, поряд з випадковою складовою, має і систематичну складову. А це означає, що математичне сподівання результату опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності не дорівнює істинному значенню вимірюваної величини, або інакше, що оцінка є зміщеною, якщо хоча будь-яка одна серед других похідних в не дорівнює нулю. Покажемо це.

Обчислимо математичне сподівання абсолютної похибки опосередкованих вимірювань Y з урахуванням:

.

У цьому виразі перша сума дорівнює нулю, оскільки за умовою проведення експерименту, а друга сума визначає систематичну похибку. Отже, якщо вимірювані величини корельовані між собою, то, враховуючи рівність

,

для систематичної похибки результату опосередкованих вимірювань дістаємо

Оцінку коефіцієнта кореляції або визначають за експериментальними даними, або задають функціональною залежністю чи у вигляді матриці.

За умови, що вимірювані величини не корельовані, маємо

Тоді систематична похибка результату опосередкованих вимірювань

.

Отже, опосередковані вимірювання при нелінійній залежності мають специфічну систематичну похибку, яка обумовлена ненульовими частинними похідними .

Щоб вилучити цю систематичну похибку, треба в результат опосередкованих вимірювань, обчислений за формулою, ввести поправку П, яка дорівнює систематичній похибці за значенням і обернена їй за знаком, тобто .

Опосередковані вимірювання при лінійній залежності вказаної вище специфічної систематичної похибки не мають, тому що для них .

Результат і похибка опосередкованих вимірювань

Довірчі границі випадкової похибки і границі не вилученої систематичної похибки результату опосередкованого вимірювання з нелінійною залежністю визначають за певними формулами, підставляючи в останні замість коефіцієнтів відповідно перші похідні .

Довірчу повну похибку результату опосередкованого вимірювання обчислюють певним чином.

Остаточний результат опосередкованих вимірювань записується у вигляді

при , (4.35)

де границі допустимої випадкової похибки опосередкованих вимірювань.

Формули для оцінки СКВ і результату опосередкованих вимірювань справедливі за умови, що відомі оцінки дисперсії (і СКВ) початкових величин. Значення коефіцієнта визначається для заданої довірчої ймовірності P, виходячи із закону розподілу результату опосередкованого вимірювання. Якщо закон розподілу результату опосередкованих вимірювань можна вважати нормальним, то для визначення (і довірчих границь ) використовується інтегральна функція нормованого нормального розподілу при великому числі вимірювань . При малому числі нормально розподілених результатів спостережень слід користуватися розподілом Стьюдента з “ефективним” числом степенів вільності, що визначається виразом

.

Якщо числа спостережень усіх аргументів однакові , то

.

При лінійній функціональній залежності опосередкованих вимірювань маємо і одержуємо приведені раніше формули для ефективного числа степенів вільності .

Оскільки число звичайно є дробовим, то для пошуку величини за таблицею розподілу Стьюдента необхідно використовувати інтерполяцію.

Довірчі границі повної похибки опосередкованих вимірювань (з урахуванням випадкової і не вилученої систематичної складових похибки вимірювань) знаходять за відповідною методикою.

Отже, загальна методика статистичної обробки результатів опосередкованих вимірювань передбачає такий алгоритм:

1) вилучення відомих (виявлених) систематичних похибок з результатів вимірювань кожного аргументу;

2) перевірку відповідності реального розподілу результатів прямих вимірювань кожного аргументу нормальному закону за одним із критеріїв згоди. Якщо така відповідність підтверджується, то проводять перевірку надмірних похибок і їх вилучення з результатів вимірювань;

3) обчислення оцінок аргументів та їх похибок;

4) перевірку відсутності кореляції між результатами вимірювань аргументів попарно, при її наявності обчислюють відповідні коефіцієнти кореляції;

5) обчислення результату опосередкованого вимірювання;

6) обчислення довірчої випадкової похибки і загальної похибки результату опосередкованого вимірювання; при нелінійній залежності знаходять систематичну похибку опосередкованих вимірювань, обумовлену перехресними членами у рівнянні.

При прямих одноразових вимірюваннях початкових величин процедура визначення результату Y опосередкованих вимірювань зберігається такою самою, як і при багаторазових вимірюваннях. Проте при прямих одноразових вимірюваннях початкових величин для оцінки характеристик похибки опосередкованих вимірювань широко використовуються абсолютні і відносні значення похибок. Для визначення абсолютної похибки результату опосередкованих вимірювань використовують співвідношення, аналогічне за формою виразу без залишкового члена, а за абсолютною похибкою знаходять відповідні відносні похибки з рівності.

Формули обчислення абсолютних і відносних похибок опосередкованих вимірювань для тих функціональних залежностей, які часто зустрічаються в практиці, наведені в табл. 1. Якщо похибки є систематичними, то формули в табл. 1. використовують з урахуванням знаків похибок. Для випадкових похибок здійснюється підсумовування за модулем, тобто арифметичне підсумовування, причому за величину беруть границі допустимих похибок (максимальні значення).

Табл. 1. свідчить, що піднесення аргументу до цілого степеня значно збільшує, а добування цілого степеня аргументу зменшує похибки результату. Тому вимірювання величин, які у формулу входять у вигляді ціле додатне число), необхідно виконувати з більшою точністю, а вимірювання величин, які входять у формулу (1.6) у вигляді , може здійснюватися з меншою точністю. Якщо результат опосередкованих вимірювань виражається через степеневу функцію аргументів, наприклад,

,

то для відносної систематичної похибки одержимо

,

а для оцінки “зверху”, тобто максимального значення відносної випадкової похибки

Таблиця 1.

Проте така оцінка дає завищені результати і її застосування доцільно при 2 або 3 складових похибки. При більшому числі складових випадкової похибки опосередкованих вимірювань (за числом аргументів m), абсолютну випадкову похибку результату опосередкованих вимірювань слід обчислювати за правилами підсумовування незалежних випадкових величин, тобто геометрично

.

Величину називають середнім квадратичним значенням абсолютної випадкової похибки опосередкованих вимірювань.

Тоді СКЗ відносної випадкової похибки опосередкованих вимірювань

.

При роздільній оцінці систематичних і випадкових похибок результату опосередкованих вимірювань необхідно мати на увазі таке. Очевидно, що оцінити систематичну похибку результату опосередкованих вимірювань неможливо, не знаючи оцінок систематичних похибок початкових величин . Але якщо вони відомі, то їх необхідно вилучити з результатів прямих вимірювань , а потім оцінити результат опосередкованого вимірювання за цими виправленими значеннями . Водночас така оцінка систематичної похибки може бути проведена після закінчення експерименту. Тоді її у вигляді поправки необхідно врахувати в остаточному результаті опосередкованого вимірювання. Оцінка систематичної похибки може використовуватися також під час підготовки до експерименту, як орієнтовна оцінка. Наприклад, якщо припустити, що похибка результату опосередкованого вимірювання визначається тільки похибкою ЗВТ при вимірюванні величин , причому в цих ЗВТ переважаючою є систематична похибка (випадковою похибкою можна знехтувати), то на підставі оцінки систематичної похибки за певною формулою при (провівши формальну заміну , ) можна вибрати ЗВТ з такими границями допустимих систематичних похибок, щоб похибка результату опосередкованих вимірювань величини Y не перевищувала заданого значення.

Оцінка результатів і похибок сумісних та сукупних вимірювань

Загальною ознакою сумісних і сукупних вимірювань, відповідно до їх визначення (див. § 1.5), є те, що значення шуканих величин визначають, розв’язуючи систему рівнянь, які зв’язують шукані величини з деякими іншими величинами, вимірюваними прямими або опосередкованими методами, причому вимірюють декілька комбінацій значень цих величин. Вимірювання, проведені для кожної комбінації, дозволяють одержати одне рівняння, а сукупність цих рівнянь для всіх комбінацій являє собою систему рівнянь, в яку входять також усі значення шуканих величин. Цю систему рівнянь, відповідно до (1.7), запишемо для стислості записів у вигляді

, (4.36)

де значення шуканих величин, ;