63151 (597576), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

значення величин, вимірюваних прямими або опосередкованими методами в q-му досліді, ;

n число дослідів;

k число величин, які вимірюються в кожному досліді;

m число шуканих величин.

Рівняння, як і рівняння, за формою однакові для сумісних і сукупних вимірювань. Їх відмінністю є тільки фізична суть шуканих величин.

Якщо є значеннями тієї самої фізичної величини (наприклад, масами гир певного набору або довжинами лінійних мір), то вимірювання сукупні. Якщо ж значення різних фізичних величин (наприклад, опору і температури), то вимірювання сумісні. Ще раз підкреслимо, що такий поділ вимірювань дуже умовний, але він традиційно існує.

Після проведення n дослідів одержують n комбінацій значень вимірюваних величин . Підставляючи у початкову систему і проводячи необхідні перетворення, одержимо систему рівнянь

Рівняння (4.37) містять у собі шукані величини і числові коефіцієнти . Для визначення m невідомих значень шуканих величин необхідно мати m рівнянь. Тоді результати вимірювань величин і довірчі границі їх похибок можна знайти за методиками обробки результатів опосередкованих вимірювань. Проте, з метою зменшення похибок результатів вимірювань, дослідів проводять дещо більше, ніж число m невідомих величин , тобто .

Оскільки точність вимірювання величин обмежена, то умовні рівняння одночасно не перетворюються в тотожності при жодних значеннях шуканих величин , а отже, не виникає можливості визначення їх істинних значень. Тому задача зводиться до знаходження оцінок шуканих величин , найбільш наближених до істинних значень. Позначимо такі оцінки . Якщо значення підставити в умовні рівняння, то їх ліві частини, в загальному випадку, будуть відрізнятися від правих частин. Такі рівняння і названі умовними. Для одержання тотожності введемо в праві частини умовних рівнянь деякі величини , які називають залишковими похибками умовних рівнянь або відхилами. Звідси маємо

. (4.38)

Для розв’язання системи умовних рівнянь застосовується метод найменших квадратів (МНК), згідно з яким оцінки вибирають так, щоб мінімізувати суму квадратів відхилів

.

Розв’язання задачі в самому загальному випадку, коли умовні рівняння нелінійні, а результати окремих вимірювань корельовані, дещо утруднено. Тому розглянемо окремий випадок, коли умовні рівняння лінійні або приведені до лінійного вигляду, а результати вимірювань величин рівноточні і некорельовані. Тоді оцінки, одержані методом найменших квадратів, будуть обґрунтованими і незміщеними, а при нормальному розподілі результатів вимірювань ще й ефективними. У цьому випадку система рівнянь може бути приведена до вигляду

(4.39)

де коефіцієнти, одержані із системи рівнянь після її лінеаризації (якщо вона нелінійна) і підстановки значень величин , причому q рядок, j стовпчик;

постійна величина.

Сума квадратів відхилів визначається із системи рівнянь

Як відомо, необхідною умовою мінімуму диференціальної функції багатьох змінних, у даному випадку , є виконання рівнянь:

Їх можна розглядати як рівняння відносно величин у математичній статистиці вони називаються нормальними рівняннями.

Використовуючи рівність, знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

Запишемо одержану систему рівнянь у компактному вигляді

Ця система рівнянь є лінійною відносно шкали величин . Внаслідок розв’язання системи нормальних рівнянь одержують m невідомих величин . Для спрощення запису цієї моделі використовують позначення Гаусса для сум:

; ; .

З урахуванням цих позначень система нормальних рівнянь набуває вигляду

Як відомо, розв’язання такої лінійної системи є лінійними комбінаціями величин :

де коефіцієнти знаходять, розв’язуючи систему рівнянь (4.44) за допомогою визначника для кожної з шуканих величин:

,

де ;

.

Визначник одержаний заміною у визначнику j-го стовпця стовпцем вільних членів у (4.44).

Отже, .

Визначивши з відхили і підставивши їх у рівняння (4.42), одержимо такі рівності:

,

що виражають властивості відхилів . Ці рівності застосовуються для перевірки правильності визначення оцінок шуканих величин після розв’язання системи рівнянь.

Визначення оцінок шуканих величин пов’язано з великим обсягом обчислень, який швидко збільшується із збільшенням числа умовних рівнянь. Останнє необхідно для підвищення точності одержаних оцінок. У сучасні дні обробка результатів сумісних і сукупних вимірювань виконується за допомогою ЕОМ за стандартними програмами. Тому точність оцінок істинних значень вимірюваних величин може бути значно підвищена при збільшенні числа умовних рівнянь до кількох десятків і навіть сотень, а в деяких випадках і більше.

Для оцінки точності одержаного розв’язання системи рівнянь звичайно припускають, що точність визначення коефіцієнтів значно вища від точності визначення коефіцієнтів . Це припущення, як правило, виправдане в багатьох практичних випадках. При його виконанні похибки оцінок шуканих величин визначаються тільки дисперсіями результатів вимірювання останніх. А враховуючи, що згідно з рівняннями оцінки є лінійними комбінаціями величин , маємо

,

де оцінка дисперсії шуканих величин

оцінка дисперсії коефіцієнтів .

Якщо припустити, що всі результати спостережень є рівноточними, а отже, всі дисперсії у виразі однакові

,

то оцінка СКВ

Для обчислення рекомендується досить простий вираз

,

в якому залишкові похибки визначають із рівнянь після визначення оцінок згідно з системою рівнянь.

Якщо точність визначення усіх коефіцієнтів системи рівнянь (4.45) приблизно однакова, то оцінку СКВ результату вимірювань величин визначають за формулою

де алгебраїчні доповнення головного визначника D, які одержують виключенням з нього j-го рядка та j-го стовпця.

З рівнянь випливає, що точність сукупних і сумісних вимірювань залежить від співвідношення числа шуканих величин m і числа умовних рівнянь n. Чим значніша умова , тим точніше результати обробки. Якщо m і n близькі, то результати обробки визначаються з грубими похибками.

Довірчі інтервали для істинних значень усіх вимірюваних величин одержують за розподілом Стьюдента при числі степенів вільності .

Якщо при сукупних і сумісних вимірюваннях умовні рівняння нелінійні, то застосовують їх лінеаризацію.

Таким чином, методика обробки результатів сукупних і сумісних вимірювань така:

1. Записують систему умовних рівнянь при підстановкою експериментальних даних у рівняння початкової залежності.

2. Систему умовних рівнянь приводять до нормального вигляду. Для обчислення коефіцієнтів нормальних рівнянь складають допоміжну табл. 2, яка дозволяє також перевірити правильність визначення шуканих величин.

Таблиця 2.

Визначають оцінки шуканих величин , розв’язуючи систему нормальних рівнянь, для чого використовують один із методів:

а) метод, який ґрунтується на послідовному виключенні невідомих (метод Гаусса);

б) метод із застосуванням визначника.

4. Перевіряють правильність визначення оцінок шуканих величин за рівняннями.

5. Знаходять оцінку СКВ результатів вимірювань шуканих величин за певними формулами.

6. Визначають довірчі інтервали для всіх вимірюваних величин на підставі розподілу Стьюдента при числі степенів вільності їх вимірювань.

Характеристики

Список файлов книги