47051 (Иерархическое управление большими системами)

Иерархическое управление большими системами.

Большая система, как это кратко было описано в главе 1, - это сложная система, составленная из множества компонентов или меньших подсистем, которые выполняют свои функции, имеют общие ресурсы, и управляемая взаимосвязанными целями и ограничениями (Machmoud, 1977; Jamshidi, 1983). Хотя взаимодействие подсистем может быть организованно в различных формах, одна из общеизвестных – это иерархическая, которая естественна для экономики, менеджмента, в управлении предприятиями, в смешанных отраслях промышленности, таких как роботостроение, производство нефти, стали и бумаги. В этих иерархических структурах, подсистемы расположены на уровнях с различными степенями иерархичности. Подсистема на каком-либо уровне управляет или координирует подсистемы, расположенные на уровне ниже ее, и, в свою очередь, управляется или координируется подсистемой расположенной уровнем выше. Рисунок 4.1 показывает типичную иерархическую (многоуровневую) систему. Верхний уровень управления, иногда его называют координатор высшего уровня (supremal coordinator), можно сравнить с советом директоров корпорации, в то время как другие уровни можно сравнить с президентом, вице-президентом, директорами и т.д. Низший уровень может быть, например, управляющим завода, директором магазина и т.д. тогда как сама большая система – это корпорация. Несмотря на то, что представление иерархической структуры кажется вполне естественным, ее точное поведение еще не совсем изучено, из за того, что сделано мало исследований в области больших систем (March and Simon, 1958). Mesarovic и др. (1970) представили один из самых ранних формальных количественных подходов к иерархической (многоуровневой) системе.С тех пор было сделан много работ в этой области (Schoeffler and Lasdon, 1966; Benveniste et al., 1976; Smith and Sage, 1973; Geoffrion, 1970; Schoeffler, 1971; Pearson, 1971; Cohen and Jolland, 1976; Sandell et al., 1978; Singh,1980; Jamshidi, 1983; Huang and Shao, 1994a,b). Заинтересованный читатель может найти относительно исчерпывающую информацию об управлении многоуровневыми системами и их применении в работе Mahmoud (1977).

В этом разделе дано описание понятия «иерархия», свойств и типов иерархических процессов и представлены некоторые причины для их существования. Полная оценка иерархических методов представлена в разделе 4.6.

Ниже представлены основные свойства иерархических систем, хотя они не общеприняты:

1. Иерархическая система состоит из управляющих блоков, которые организованны по принципу пирамиды.

2. У системы есть общая цель, которая может совпадать или не совпадать с целью отдельных компонентов системы.

3. Различные уровни иерархии системы многократно обмениваются информацией между собой (обычно вертикально).

4. С увеличением уровня временной диапазон тоже увеличивается, то есть компоненты нижних уровней быстрее, чем компоненты верхних.

В иерархических (многоуровневых системах) можно выделить три основные структуры, в зависимости от параметров модели, искомых переменных, поведения и окружающей среды, изменчивости и существования множества взаимоисключающих целей и задач.

1. Многопластовая иерархическая структура. В этой многоуровневой структуре уровни называют пластами. Подсистемы нижнего уровня дают более точное описание большой системы, чем подсистемы верхнего уровня.

2. Многослойная иерархическая структура. Эта структура является результатом сложности процесса регулирования. Задачи управления распределены вертикально, как показано на рисунке 4.2 (Singh and Titli, 1978). В многослойной системе, которая изображена на рисунке, регуляция (на первом уровне) является прямым управлением, а за ним следует оптимизация (вычисление контрольных точек регуляторов), адаптация (непосредственная адаптация закона управления и модели управления) и самоорганизация (выбор модели и управление как функция параметров окружающей среды).

3. Многозвенная иерархическая система. Это самая распространенная из всех трех структур; она состоит из нескольких подсистем, которые располагаются на уровнях таким образом, что каждый уровень (как описано выше) может управлять подсистемами нижнего уровня, и управляется подсистемами верхних уровней. Эта структура, изображенная на рис 4.1, принимает во внимание взаимоисключающие цели и задачи различных подуровней. Другими словами, ступени высшего уровня достигают взаимоисключающих целей путем ослабления взаимодействия между ступенями низшего уровня. Распределение задачи управления данной структуры показано на рисунке 4.2 и, в отличие от многослойной структуры, – горизонтально.

Кроме вертикального и горизонтального распределения задач управления, существует третий способ – временное или функциональное распределение. Это распределение, дающее подсистемам функциональную оптимизацию проблемы, заключается в декомпозиции задачи на конечное число простых задач оптимизации на нижнем уровне и в результате дает немалое сокращение вычислений. Эта схема использовалась для иерархического управления дискретными системами у Jamshidi (1983).

Далее в этой главе говорится о том, как можно эффективно управлять иерархическими системами, используя процессы, известные как декомпозиция и согласование. Эти два процесса представлены на рис 4.3. В итоге, определение иерархического управления: (а) декомпозиция – разделение системы на множество подсистем, и (б) согласование работы этих подсистем, пока не будет достигнуто оптимальное управление всей системой (посредством многоуровневого итеративного алгоритма).

В разделе 4.2 описана возможность применения согласования для иерархических систем. раздел 4.3 посвящен управлению по разомкнутому контуру. Управлению по замкнутому контуру посвящен раздел 4.4, так же в нем даны определения «interaction prediction» и метода структурных возмущений. В разделе 4.5 описано иерархическое управление, основанное на разложение на ряды Тейлора и Чебышева. Проблема управления решается линейными алгебраическими уравнениями. На примерах показаны различные методы решений. Оптимизация линейных и нелинейных иерархических систем описана в главе 6. раздел 4.6 содержит дальнейшее развитие методов иерархического управления.

4.2. Согласование иерархических структур.

Как было сказано в предыдущем параграфе, большие системы могут быть иерархически управляемы, для чего сначала надо провести декомпозицию на подсистемы и, затем согласовать полученные подзадачи, преобразовывая сложную систему в многоуровневую. Этого преобразования можно достичь различными путями. Однако, все эти пути, по сути, есть комбинация всего двух отдельных подходов: согласование модели (feasible) и согласование цели (dual-feasible). и методы описаны в следующих двух параграфах, на примере статической оптимизации системы, состоящей из двух подсистем (динамическое программирование).

4.2.1 Метод согласования модели.

Рассмотрим следующую статическую оптимизационную задачу:

(4.2.1)

(4.2.2)

где x – вектор состояния системы, u – вектор управления, y – вектор взаимодействия между подсистемами. Декомпозируем задачу и ее целевую функцию на две подсистемы:

(4.2.3)

и

(4.2.4)

где xi, ui, yi – управляющие векторы системы и выходные векторы i-й подсистемы, соответственно. Такая декомпозиция дает функцию производительности (функционал) для каждой подсистемы. Однако, вектора yi, i=1,2 подсистем взаимосвязаны. Цель метода согласования модели – преобразовать общую задачу в двухуровневую задачу установки значений векторов y1 и y2 в некоторые значения wi, i=1,2:

(4.2.5)

Данная задача разделяется на две последовательные подзадачи:

Первый уровень подсистемы i:

(4.2.6)

(4.2.7)

Второй уровень:

(4.2.8)

Эту минимизацию можно представить как:

(4.2.9)

(4.2.10)

В этой процедуре согласования переменная wi, которая фиксирует изменения переменной yi, называется переменной согласования. Кроме того, внутренние изменения фиксируются добавлением вынужденной составляющей мат модели, эта процедура называется согласованием модели. Другими словами, сам факт представления всех промежуточных значений переменных x, u и y, так же называется метод точной декомпозиции. Следовательно, система может оперировать с теми промежуточными переменными, которые ведут к локальной оптимизации. Первый уровень задачи фиксируется точным взаимодействием переменных с первоначальной задачей оптимизации, пока определяется задача выделения согласующих переменных второго уровня.

2. Метод согласования цели.

Рассмотрим задачу статической оптимизации (4.2.1)-(4.2.2). В методе согласования цели удаляются все связи между подсистемами. Выходную переменную i-й подсистемы обозначим как yi, а входную – zi. Пусть все связи между подсистемами отсутствуют, т.е. . При этом условии, zi действует как случайно управляемая переменная и оптимизирует подсистему подобно x, u и y. Кроме того, задача оптимизации, рассмотренная в предыдущем параграфе, решена для уже разделенной на две подсистемы системой, где разделены взаимодействия подсистем и их целевые функции. Далее необходимо убедится, что все подсистемы вместе решают первоначальную задачу, для этого должно выполнятся правило уравновешенного взаимодействия, т.е. независимого выбора yi и zi для решения (Mesarovic и др., 1969; Schoeffler, 1971).

Опишем процедуру декомпозиции задачи на отдельные подзадачи, которые содержат задачи первого уровня. Второй уровень решения управляет первым, опираясь на правило уравновешенного взаимодействия. С точки зрения математики, это многоуровневую формулировку можно записать с помощь параметра веса , который определяет штраф системы, где не сбалансировано взаимодействие. Целевая функция примет вид:

(4.2.11)

где – вектор параметров веса (положительных и отрицательных), которые изменяют целевую функцию в зависимости от разности y-z. Введем переменную z, тогда решение системы примет вид:

(4.2.12)

(4.2.13)

Набор допустимых системных переменных определяется так:

(4.2.14)

Целевая функция минимизируется посредством S0:

(4.2.15)

Приняв за штраф и учитывая (4.2.11)-(4.2.13) , задача первого уровня формулируется как:

Подсистема 1:

(4.2.16)

(4.2.17)

Подсистема 2:

(4.2.18)

(4.2.19)

Второй уровень управляет согласованием переменной , исходя из невязки по выходу:

(4.2.20)

Из задачи второго уровня ясно, что согласующей переменной х управляют до тех пор, пока ошибка е не достигнет нуля, т.е. баланс взаимодействия поддерживается посредством целевой функции задач первого уровня (4.2.16) и (4.2.18) и через переменную , отсюда и название – согласование цели. На рис 4.4 изображено двухуровневое решение через согласование цели. Читатель может сравнить схемы 4.4 и 4.5.

Позже мы увидим, что переменную согласования а можно истолковать как вектор управления Лагранжа и задачу второго уровня можно решить через хорошо известные итеративные поисковые алгоритмы, такие как метод градиента, Ньютона и скоростного градиента.