150070 (Анализ режимов работы электрических сетей ОАО "ММК им. Ильича" и разработка адаптивной системы управления режимами электропотребления), страница 3

Перед непосредственным применением методов прямого поиска необходимо провести ряд мероприятий по подготовке задачи к решению, а именно

исключить ограничения в виде равенств;

определить начальную допустимую точку.

Простейший способ исключения ограничений в виде равенств заключается в решении его относительно одной из переменных с последующим исключением этой переменной путем подстановки полученного выражения в соотношения, описывающие задачу. При этом следует учитывать, что границы значений исключаемых переменных сохраняются в задаче в виде ограничений - неравенств.

Несмотря на то, что подстановка является самым простым способом исключения ограничений - равенств, не всегда оказывается возможным ее осуществить. В этом случае проблема решается путем численного решения уравнения относительно зависимых переменных при заданных значениях независимых оптимизирующих переменных.

Для определения начальной допустимой точки целесообразно использовать процедуру случайного поиска, основная идея которого будет рассмотрена ниже.

После проведения процедуры подготовки задачи к решению следует приметить один из методов условной оптимизации[5,6]. Рассмотрим методы прямого поиска:

модифицированный метод Хука-Дживса;

метод комплексов;

метод случайного поиска;

метод покоординатного спуска.

1.4.1 Метод Хука-Дживса

Одним из методов прямого поиска есть метод Хука-Дживса[5,7], который был разработан в 1961г, но до сих пор является весьма эффективным и оригинальным. Метод Хука-Дживса характеризуется несложной стратегией поиска, относительной простотой вычислений и невысоким уровнем требований к памяти ЭВМ. Это один из первых алгоритмов, в котором при определении нового направления поиска учитывается информация, полученная на предыдущих итерациях. Процедура Хука-Дживса представляет собой комбинацию исследующего поиска с циклическим изменением переменных и ускоряющего поиска по образцу.

1.4.1.1 Исследующий поиск

Для проведения исследующего поиска необходимо знать величину шага, которая может быть различной для разных координатных направлений и изменяться в процессе поиска. Исследующий поиск начинается в некоторой исходной точке. Если значение целевой функции в пробной точке не превышает значение в исходной точке, то шаг поиска рассматривается как успешный. В противном случае надо вернуться в предыдущую точку и сделать шаг в противоположном направлении с последующей проверкой значения целевой функции. После перебора всех n- координат исследующий поиск завершается. Полученную в результате точку называют базовой точкой.

1.4.1.2 Поиск по образцу

Поиск по образцу [5,6] заключается в реализации единственного шага из полученной базовой точки вдоль прямой, соединяющей эту точку с предыдущей базовой точкой. Новая точка образца определяется в соответствии с формулой

Xp(k+1)=X(k)+(X(k)-X(k-1)). (1.9)

Как только движение по образцу не приводит к уменьшению целевой функции, точка Xp(k+1)фиксируется в качестве временной базовой точки и вновь проводится исследующий поиск. Если в результате получается точка с меньшим значением целевой функции, чем в точке X(k), то она рассматривается как новая базовая точка X(k+1). С другой стороны, если исследующий поиск неудачен, необходимо вернуться в точку X(k) и провести исследующий поиск с целью выявления нового направления минимизации. В конечном счете возникает ситуация, когда такой поиск не приводит к успеху. В этом случае требуется уменьшить величину шага путем введения некоторого множителя и возобновить исследующий поиск. Поиск завершается, когда величина шага становится достаточно малой. Последовательность точек, получаемую в процессе реализации метода, можно записать в следующем виде:

X(k) - текущая базовая точка,

X(k-1)- предыдущая базовая точка,

Xp(k+1)- точка, построенная при движении по образцу,

X(k+1)- следующая (новая) базовая точка.

Приведенная последовательность характеризует логическую структуру поиска по методу Хука-Дживса.

1.4.1.3Описание алгоритма метода

Шаг 1. Выбрать начальную базисную точку b1 и шаг длиной hj для каждой переменной xj, j=1,2,...,n.

Шаг 2. Вычислить f(x) в базисной точке b1 с целью получения сведений о локальном поведении функции f(x). Функция f(x) в базисной точке b1 находится следующим образом:

Вычисляется значение функции f(b) в базисной точке b1.

Каждая переменная по очереди изменяется прибавлением длины шага. Таким образом, мы вычисляем значение функции f(b1+h1*e1), где e1-единичный вектор в направлении оси х1.

Если это приводит к уменьшению значения функции, то d1 заменяется на b1+h1*e1. В противном случае вычисляется значение функции f(b1-h1*e1), и если ее значение уменьшилось, то b1 заменяем на b1-h1*e1.

Если ни один из проделанных шагов не приводит к уменьшению значения функции, то точка b1 остается неизменной и рассматриваются изменения в направлении оси х2, т.е. находится значение функции f(b1+ h2*e2) и т.д. Когда будут рассмотрены все n-переменныx, мы будем иметь новую базисную точку b2.

Если b2=b1, т.е. уменьшение функции не было достигнуто, то исследование повторяется вокруг той же базисной точки b1, но с уменьшенной длиной шага.

Если b2 b1, то производится поиск по образцу.

Шаг 3. При поиске по образцу используется информация, полученная в процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в направлении, заданном образцом. Эта процедура производится следующим образом:

Разумно двигаться из базисной точки b2 в направлении b2-b1, поскольку поиск в этом направлении уже привел к уменьшению значения функции. Поэтому вычислим функцию в точке образца

P1=b1+2*(b2-b1). (1.10)

В общем случае

Pi=bi+2*(b(i+1)-bi). (1.11)

Затем исследование следует продолжать вокруг точки P1(Pi).

Если наименьшее значение на шаге B,2 меньше значения в базисной точке b2(в общем случае b(i+1)), то получают новую базисную точку b3 (b(i+2)), после чего следует повторить шаг B,1 . В противном случае не производить поиск по образцу из точки b2(b(i+1)), а продолжить исследования в точке b2(b(i+1)).

Шаг 4. Завершить этот процесс, когда длина шага (длины шагов) будет уменьшена до заданного малого значения.

1.4.2 Метод комплексов

Алгоритм [7]:

Заданы границы значений всех переменных xiL, xiU, i=1,2,..., N (размерность задачи), допустимая точка xo, параметр отображения a (рекомендуется a =1,3) и параметры окончания вычислений  и d .

Шаг 1. Построение начального комплекса, состоящего из P допустимых точек (рекомендуется P=2N). Для каждой точки p = 1, 2,...,P-1

случайным образом определить координаты xp;

если xp - недопустимая точка, то найти центр тяжести xцт уже найденных точек и положить xp = xp + (xцт - xp); повторять процедуру до тех пор, пока xp не станет допустимой;

если xp - допустимая точка, повторять до тех пор, пока p=P;

вычислить W(xp) для p=0,1,...,P-1.

Шаг 2. Отражение комплекса:

выбрать точку xR, для которой W(xR) = max W(xp) = Wmax (решается задача минимизации);

найти центр тяжести xцт и новую точку xm = xцт + a (xцт - xR);

если xm - допустимая точка и W(xm)< Wmax, уменьшить в два раза расстояние между xm и центром тяжести xцт, продолжать поиск, пока W(xm)

если xm - допустимая точка и W(xm)

если xm - недопустимая точка, то перейти к шагу 3.

Шаг 3. Корректировка для обеспечения допустимости:

если xim

если xim>xiU(верхняя граница допускаемой области), то положить xim = xiU;

если xm - недопустимая точка, то уменьшить в два раза расстояние до центра тяжести; продолжать до тех пор, пока xm не станет допустимой точкой.

Шаг 4. Проверка условий окончания вычислений:

положить

и

;

если

и

,

то вычисления прекратить; в противном случае перейти к шагу 2a.

1.4.3 Методы случайного поиска

Наиболее простой процедурой случайного поиска [3,5] является прямая выборочная процедура, заключающаяся в разыгрывании на ЭВМ последовательности точек с координатами

xi = xiL +ri (xiU - xiL), i=1,2,...,N, (1.12)

где ri - случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0,1].

После проверки каждой точки на допустимость вычисляются значения целевой функции, которые сравниваются с наилучшим значением, полученным к данному моменту. Если текущая точка дает лучшее значение, то она запоминается, в противном - отбрасывается. Процесс прекращается после заданного числа итераций N или по исчерпанию заданного машинного времени. Для получения 90% доверительного интервала величиной  i (xiU - xiL), где 0< <1, для переменной xi совместный случайный поиск требует испытаний. При N=5,  i=0,01 число испытаний оценивается в 2,3 1010, что исключает возможность непосредственного использования метода.

Значительного увеличения эффективности процедуры случайного поиска можно достигнуть путем группировки выборок в серии. При этом наилучшая точка в каждой серии используется как начальная точка следующей серии, точки которой уже выбираются из интервала меньшей величины. Данная процедура получила название выборки со сжатием пространства поиска. Рассмотрим более подробно ее алгоритм.

Заданы границы значений всех переменных xiL, xiU, i=1,2,..., N (размерность задачи), начальные допустимая точка xo и интервал поиска D xo = xiU - xiL, количество серий Q, количество точек в серии P и параметр окончания вычислений  . Для каждой из серий, начиная с q = 1, необходимо выполнить следующие действия.

Шаг 1. Для i = 1,2,...,N вычислить

xip = xiq-1 +ri D xq-1, (1.13)

где ri - случайная величина, равномерно распределенная на интервале [-0,5;0,5].

Шаг 2.

если xp - недопустимая точка и p < P, то повторить шаг 1;

если xp - допустимая точка, то запомнить xp и W(xp) и

если p < P, то повторить шаг 1;

если p = P, то найти среди всех допустимых точек xp точку с наименьшим значением W(xp) и положить ее равной xq.

Шаг 3. Уменьшить интервал поиска, полагая D∙xiq =  i∙D∙xiq-1.

Шаг 4.

Если q > Q, то закончить вычисления.

В противном случае увеличить q=q+1 и продолжить вычисления, начиная с шага 1.

1.4.4 Метод покоординатного спуска

Рисунок 1.1 - Метод покоординатного спуска

Рассмотрим функцию двух переменных. Ее линии уровня представлены на рис. 1.1, а минимум лежит в точке (x1*,x2*). Простейшим методом поиска является метод покоординатного спуска[3,4]. Из точки А произведем поиск минимума вдоль направления оси х1 и, таким образом, находим точку В, в которой касательная к линии постоянного уровня параллельна оси х1. Затем, производя поиск из точки В в направлении оси х2, получаем точку С, производя поиск параллельно оси х2, получаем точку D, и т.д. Таким образом, мы приходим к оптимальной точке. Очевидным образом эту идею можно применить для функции n переменных.

Теоретически данный метод эффективен в случае единственного минимума функции. Но на практике он оказывается слишком медленным. Поэтому были разработаны более сложные методы, использующие больше информации на основании уже полученных значений функции.

1.5 Градиентные методы

Как следует из названия, эти методы решения нелинейных оптимизационных задач используют понятие градиента функции[3,5,7]. Градиентом функции называется вектор

(1.14)

где - единичные вектора (орты).

Величина этого вектора определяется по выражению

(1.15)

Из (1.14) и (1.15) видно, что функция, градиент которой определяется, должна быть дифференцируемой по всем n переменным.

Физический смысл градиента функции в том, что он показывает направление (1.14) и скорость (1.15) наибольшего изменения функции в рассматриваемой точке. Если в некоторой точке , функция в этой очке не изменяется (не возрастает и не убывает). Эта точка соответствует экстремуму функции.

1.5.1 Градиентный метод с постоянным шагом

Сущность градиентных методов решения нелинейных оптимизационных задач [1,5,7] поясним для случая отыскания абсолютного минимума функции двух переменных , иллюстрируемого рис. 1.2. этот минимум находится в точке с координатами х10 и х20.

Рисунок 1.2 – Иллюстрация градиентного метода с постоянным шагом

В соответствии с граничными условиями (1.3), в большинстве практических оптимизационных задач они принимают только положительные или нулевые значения, областью допустимых значений переменных будет первый квадрант системы координат х1 и х2. в этой области произвольно выберем исходное (нулевое) приближение – точку с координатами х10, х20. значение целевой функции в этой точке составляет Z0. В соответствии с выражением (1.15) вычислим в этой точке величину градиента функции Z.

Выполним шаг единичной длины ( ) в направлении убывание функции Z. В результате выполненного шага получим первое приближение – точки с координатами х11, х21. Значение целевой функции в этой точке составляет Z1.

Далее вычислительная процедура повторяется: последовательно получаем 2-е, 3-е и 4-е приближения – точки с координатами х12, х22; х13, х23 и х14, х24. Значения целевой функции в этих точках соответственно составляют Z2, Z3 и Z4.

Из рис. 1.2 видно, что в результате вычиcлительного процесса последовательно осуществляется "спуск" к минимуму функции Z. Вычислительная процедура заканчивается, когда относительное изменение целевой функции на предыдущем i-м и последующем (i+1)-м шагах оказывается меньше заданной точности вычислений :

(1.16)

Рассмотренная вычислительная процедура носит название градиентного метода с постоянным шагом. В этом методе все шаги выполнялись одинаковой длины . Метод достаточно прост. Основной его недостаток – большая вероятность зацикливания вычислительного процесса в окрестности минимума функции Z. В соответствии с рис. 1.2 вычислительный процесс зациклится между точками с координатами х13, х23 и х14, х24. При этом в качестве искомого решения следует принять одну из этих точек.

Для получения более точного результата необходимо выбрать шаг меньшей длины. При этом объем вычислений (количество шагов) увеличится.

Таким образом, точность и объем вычислений в градиентном методе с постоянным шагом определяются величиной этого шага.

1.5.2 Метод скорейшего спуска

Как было отмечено выше, при увеличении длины шага объем вычислений (количество шагов) уменьшается, однако уменьшается и точность определения минимума целевой функции. При уменьшении длины шага точность увеличивается, однако объем вычислений (количество шагов) возрастает.

Поэтому вопрос о выборе рациональной длины шага в градиентных методах является своего рода оптимизационной задачей. Один из способов определения оптимальной длины шага иллюстрируется на рис. 1.3 и носит название метода скорейшего спуска [1,7].

Рисунок 1.3 – Иллюстрация метода скорейшего спуска (а) и параболическая аппроксимация целевой функции для выбора оптимального шага (б)

В методе наискорейшего спуска желательно использовать рассмотренное свойство направления градиента. Поэтому, если мы находимся в точке хi на некотором шаге процесса оптимизации, то поиск минимума функции осуществляется вдоль направления - . Данный метод является итерационным. На шаге i точка минимума аппроксимируется точкой хi . Следующей аппроксимацией является точка

(1.17)

где λi - значение λ, минимизирующее функцию.

. (1.18)

Значение λi может быть найдено с помощью одного из методов одномерного поиска (например, методом квадратичной интерполяции).

В приложении приведена программа, позволяющая реализовать метод наискорейшего спуска. В ней множитель Лагранжа обозначен через h. Вектор di является единичным.

Для поиска минимума функции

(1.19)

в направлении di из точки xi используется метод квадратичной интерполяции.

В точке , и мы выбираем длину шага λ такой, чтобы шаг "перекрыл " минимум функции φ(λ). Производная

. (1.20)

Данный оператор for(i=0;i

. (1.21)

Оператор if (ff[2]>=ff[0] || g2>=0) проверяет условие "перекрытия" минимума, которое выполняется при выполнении либо одного, либо другого условия. Если минимум не попал в отрезок (0,λ), то λ удваивается, и это повторяется столько раз, сколько необходимо для выполнения условия "перекрытия".

Удостоверившись, что отрезок (0,λ) содержит минимум, в качестве третьей точки возьмем точку λ/ 2. Минимальную точку сглаживающего квадратичного полинома находим в соответствии с соотношением

(1.22)

что отражено следующими операторами

l[3]=h*(ff[1]-.75*ff[0]-.25*ff[2]);

l[3]/=2*ff[1]-ff[0]-ff[2];

Оператор for(i=0;i

{ x[i]=y[i]+l[0]*d[i]; y[i]=x[i]; }

производит присваивание xi+1=xi, и если |g(xi+1)| достаточно мало, то процесс заканчивается. В процессе поиска предполагается сходимость к экстремуму, поэтому для эффективности процедуры разумно уменьшить длину шага. При этом деление шага пополам выбрано произвольно.

В методе скорейшего спуска, по сравнению с градиентным методом с постоянным шагом, количество шагов меньше, точность получаемого результата выше, отсутствует зацикливание вычислительного процесса, однако объем вычислений на одном шаге больше.

1.5.3 Метод проектирования градиента

Рассмотренные выше градиентные методы предполагали отыскание абсолютного минимума целевой функции Z. При наличии в математической модели нелинейных ограничений ищется уже не абсолютный, а относительный минимум целевой функции Z [1].

Рассмотрим один из методов отыскания относительного минимума целевой функции, получивший название метода проектирования градиента.

Для упрощения алгоритма допустим, что имеется одно ограничение в виде линейного неравенства

(1.23)

При наличии указанного ограничения минимум целевой функции следует искать в области , расположенной по одну сторону от прямой например выше этой прямой (рис. 1.4).

Начало вычислительной процедуры такое же, как и в предыдущих методах:

в области принимается исходное (нулевое) приближение х10, х20;

вычисляется значение целевой функции в этой точке Z0;

в соответствии с выражением (1.15) в этой точке вычисляется градиент целевой функции grad Z;

из исходной точки в направлении убывания целевой функции выполняется шаг.

Рисунок 1.4 – Иллюстрация метода проектирования градиента

Выбор величины шага может осуществляться различным образом. Выберем шаг в соответствии с алгоритмом метода скорейшего спуска и получим первое приближение – точку с координатами х11, х21. Вычисляется значение целевой функции в этой точке Z1.

Необходимо проверить, принадлежит ли точка с координатами х11, х21 области допустимых значений переменных. Для этого проверяется неравенство (1.23), в которое подставляются координаты х11, х21:

(1.23)

Если это неравенство выполняется, вычислительный процесс продолжается.

Из точки с координатами х11, х21 выполняется следующий шаг. В результате этого шага имеем второе приближение – точку с координатами х12, х22. значение целевой функции в этой точке Z2.

Пусть для этой точки неравенство не выполняется. Следовательно, точка с координатами х12, х22 вышла из области и необходимо выполнить возврат в эту область.

Возврат в область выполняется следующим образом. Из точки с координатами х12, х22 опускается перпендикуляр на прямую т.е. конец вектора (х11, х21; х12, х22) проектируется на эту прямую. В результате получается новое приближение – точка с координатами х13, х23, которая принадлежит области . В этой точке вычисляется значение целевой функции Z3.

Дальнейший спуск к относительному минимуму целевой функции продолжается из точки х13, х23. на каждом шаге вычисляется значение целевой функции и проверяется принадлежность нового приближения к области . Вычислительный процесс заканчивается при выполнении условия (1.16).

1.6 Метод штрафных функций

Рассмотрим задачу поиска локального минимума критерия оптимальности W в области, ограниченной системой неравенств (3.16)-(3.17). Введение обобщенного критерия оптимальности по методу штрафных функций [3,5] производится с помощью непрерывной функции

. (1.24)

Обобщенным критерием оптимальности согласно методу штрафных функций является выражение

T=W+RQ(x),

где R - некоторое положительное число, называемое коэффициентом штрафа.

Рассматривается некоторая неограниченная, монотонно возрастающая последовательность {Rk}, k=1,2,... положительных чисел. Для первого элемента этой последовательности с помощью метода покоординатного спуска отыскивается локальный минимум функции T. Пусть этот минимум достигается при значениях (b*,R1).

Вектор (b*,R1) используется как начальное приближение для решения задачи поиска минимума функции T где R2>R1 и т.д. Таким образом, решается последовательность задач минимизации функций T(b*,Rk), k=1,2 ..., причем результат предыдущей оптимизации используется в качестве начального приближения для поиска последующей.

Рисунок 1.5 – Блок-схема метода штрафных функций

1.7 Методы полиномиальной аппроксимации

Согласно теореме Вейерштрасса об аппроксимации, непрерывную функцию в некотором интервале можно аппроксимировать полиномом достаточно высокого порядка [6]. Следовательно, если функция унимодальна и найден полином, который достаточно точно ее аппроксимирует, то координаты точки оптимума функции можно оценить путем вычисления координаты точки оптимума полинома.

Рассмотрим следующие вопросы:

квадратичная аппроксимация;

кубическая интерполяция;

квадратичные функции.

1.7.1 Квадратичная аппроксимация

Используется несколько значений функции в определенных точках для аппроксимации функции обычным полиномом по крайней мере в небольшой области значений. Затем положение минимума функции аппроксимируется положением минимума полинома, поскольку последний вычислитель проще.

Простейший случай основан на том факте, что функция, принимающая минимальное значение во внутренней точке интервала, должна быть по крайней мере квадратичной.

Если целевая функция W(x) в точках x1, x2, x3 принимает соответствующие значения W1, W2, W3, то можно определить коэффициенты aо, a1, a2 таким образом, что значения квадратичной функции

q(x) = ao + a1(x - x1) + a2(x - x1)(x - x2) (1.25)

совпадут со значением W(x) в трех указанных точках. Вычислим q(x) в трех указанных точках (см. табл.1.1).

Таблица 1.1 - Вычисление значений

1.7.1.1Метод Пауэлла

Если известны значения функции f(x) в трех разных точках α, β, γ равные соответственно f_α, f_β, f_γ, то функция f(x) может быть аппроксимирована квадратичной функцией

ö(x)=Ax²+Bx+C, (1.26)

где А, В и С определяются из уравнений

Aá²+Bá+C=f_á,

Aâ²+Bâ+C=f_â,

Aã²+Bã+C=f_ã. (1.27)

После преобразований этих уравнений получаем

A=[(ã-â)f_á+(á-ã)f_â+(â-á)f_ã] / D,

B=[(â²-ã²)f_á+(ã²-á²)f_â+(á²-â²)f_ã] / D,

C=[âã(ã-â)f_á+ãá(á-ã)f_â+áâ(â-ã)f_ã] / D, (1.28)

где D=(á-â)(â-ã)(ã-á)

Ясно, что φ(x) будет иметь минимум в точке

x=-B/2A,

если А>0. Следовательно, можно аппроксимировать точку минимума функции f(x) значением

(1.29)

Этот метод может непосредственно применяться к функциям одной переменной. Он может быть очень полезен для выполнения линейного поиска в процедурах, описанных в теме №3. В этих процедурах требуется найти минимум функции f(x) в точках прямой x0+λd, где x0- заданная точка, а d определяет заданное направление. Значение функции f(x0+λd) на этой прямой является значениями функции одной переменной λ:

φλ = f(x0+λd). (1.30)

Идеи и результаты, изложенные выше, преобразуются в вычислительные процедуры, описанные далее. Предположим, что заданы унимодальная функция одной переменной f(x), начальная аппроксимация положения минимума и длинна шага D, является величиной того же порядка, что и расстояние от точки А до точки истинного минимума x*(условие, которое не всегда просто удовлетворить). Вычислительная процедура имеет следующие шаги:

Шаг 1. x2 = x1 + D x.

Шаг 2. Вычислить W(x1) и W(x2).

Шаг 3.

если W(x1) > W(x2), то x3 = x1 + 2 D x;

если W(x1)< W(x2), то x3 = x1 - D x;

W(x1) > W(x2),

Шаг 4. Вычислить W(x3) и найти

Wmin = min{ W(x1),W(x2), W(x3)},

Xmin = xi, соответствующая Wmin.

Шаг 5. По x1, x2, x3 вычислить x*, используя формулу для оценивания с помощью квадратической аппроксимации.

Шаг 6. Проверка окончания

если | Wmin - W(x*)| < W, то закончить поиск. В противном случае к шагу 7;

если | Xmin - x*| < x, то закончить поиск. В противном случае к шагу 7.

Шаг 7. Выбрать Xmin или x* и две точки по обе стороны от нее. Обозначить в естественном порядке и перейти к шагу 4.

Заметим, что если точка Е задана слишком малой, то á, â, ã, а также f_á, f_â, f_ã будут очень близко друг к другу и значение d (1.29) может стать вообще недостижимыми. Чтобы преодолеть эту трудность, перепишем (1.29) для второй и последней интерполяции:

(1.31)

1.7.2 Кубическая интерполяция

Квадратичная интерполяция, которая рассматривалась в предыдущем разделе, называется методом Пауэлла и аппроксимирует функцию квадратным трехчленом. В этом разделе рассматривается метод Давидона [6,7], который гарантирует большую точность и аппроксимирует функцию кубическим полиномом.

Для кубической интерполяции в этом методе используются значения функции и ее производной, вычисленных в двух точках.

Рассмотрим задачу минимизации функции f(x) на прямой x0 + hd , то есть минимизацию функции

(1.32)

Предположим, что известные следующие значения:

(1.33)

Эту информацию можно использовать для построения кубического полинома a+bh+ch2+dh3, который будет аппроксимировать функцию φ(h) Если p=0 , то уравнения, которые определяют a, b, c, d имеют вид :

(1.34)

Следовательно, если r является точкой минимума кубического полинома,

(1.35)

где

Одно из значений этого выражения является минимумом. Друга производная равна 2c +6dh.

Если мы выберем положительный знак, то при