Эквивалентная динамическая нагрузка Р, Н, для шариковых радиально-упорных подшипников определяется по формуле:

P = (XVF_r + YF_a)K_бK_т , (41)

где F_r – радиальная нагрузка, приложенная к подшипнику;

F_a – осевая нагрузка, приложенная к подшипнику;

V – коэффициент вращения;

K_б – коэффициент безопасности;

K_т – температурный коэффициент.

Расчет подшипников качения выполнен с использованием программы

«SIRIUS 2». Результаты расчета находятся в приложении Г.

2.14 Расчет сечения сплошного вала

2.14.1 Определение диаметра средних участков вала

Под средними участками вала следует понимать участки, на которых расположены шестерни и зубчатые колеса. Определение диаметра производится расчетом на изгиб с кручением.

После завершения расчета, разрабатывается конструкция каждого вала, которая должна обеспечивать возможность сборки коробки скоростей и свободного продвижения зубчатых колес до места посадки.

2.14.2 Расчет валов на усталостную прочность

Расчет сводится к определению расчетных коэффициентов запаса прочности для предположительно опасных сечений валов.

Условие прочности в данном расчете, имеет вид:

(42)

где n – расчетный коэффициент запаса прочности;

[n] = 1,3 1,5 – требуемый коэффициент запаса для обеспечения прочности;

[n] = 2,5 4 – требуемый коэффициент запаса для обеспечения жесткости;

n – коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям;

n – коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям.

(43)

где _-1 и _-1 – пределы выносливости для материала вала при симметричных циклах изгиба и кручения, МПа;

_а, _а и _m, _m – амплитуды и средние напряжения циклов нормальных и касательных напряжений, МПа;

k и k – эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и при кручении;

и – масштабные факторы для нормальных и касательных напряжений;

и – коэффициенты, учитывающие влияние постоянной составляющей цикла на усталостную прочность.

Можно считать, что нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении вала от изгиба, изменяются по симметричному циклу, тогда:

(44)

где М_изг. – суммарный изгибающий момент в наиболее нагруженном сечении, Нмм;

W – момент сопротивления сечения при изгибе, мм³.

Для круглого сечения вала:

(45)

Для круглого сечения со шпоночной канавкой:

(46)

где b и t – ширина и высота шпоночной канавки, мм.

Для сечения вала со шлицами:

(47)

где = 1,125 – для шлицев легкой серии;

= 1,205 – для шлицев средней серии;

= 1,265 – для шлицев тяжелой серии.

Так как момент, передаваемый валом, изменяется по величине, то при расчете принимают для касательных напряжений наиболее неблагоприятный знакопостоянный цикл – отнулевой:

(48)

где W_к – момент сопротивления вала при кручении, мм³.

Для круглого сечения вала:

(49)

Для сечения вала со шпоночной канавкой:

(50)

Для сечения вала со шлицами:

(51)

2.14.3 Расчет на прочность шпонок и шлицевых соединений

Условие прочности по смятию для призматической шпонки имеет вид:

(52)

где z – число шпонок;

_см.– напряжение смятия, МПа;

[]_см. – допускаемое напряжение при смятии, МПа;

l_p– рабочая длина шпонки, мм;

d – диаметр вала, мм;

h – высота шпонки, мм.

Условие прочности из расчета на срез шпонки:

(53)

где []_ср. – допускаемое напряжение при срезе, МПа.

Расчет шлицевых соединений условно производят на смятие втулки в месте ее соприкосновения с боковыми поверхностями зубьев.

(54)

где = 0,70,8 – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по зубьям;

z – число зубьев;

l– рабочая длина зуба вдоль оси вала, мм;

h – рабочая высота контактирующих зубьев в радиальном направлении, мм;

r_ср. – средний радиус, мм.

Расчет сечения сплошного вала выполнен с использованием программы «SIRIUS 2». Результаты расчета находятся в приложении Г.

В результате проведенных расчетов можно построить компоновочную схему развертки коробки скоростей.

Рисунок – Развертка коробки скоростей

3. Проектирование шпиндельного узла

3.1 Тепловой расчет шпиндельного узла

Тепловой расчет шпиндельного узла осуществляется на основе решения осесимметричной задачи методом конечных элементов. В качестве типового конечного элемента в данном случае принимается треугольник. Для упрощения формирования расчетной схемы, используется процедура триангуляции четырехугольных элементов, представляющих собой фигуры, полученные при разбиении осевого сечения шпинделя. Под разбиение попадают шпиндель и все элементы установленные на нем за исключением источников тепла, которыми в данном случае являются опоры качения.

Температура аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений температуры T_i.

Вариационная формулировка МКЭ для (22) связана с минимизацией функционала:

- для плоской задачи Э:

, (55)

• для осесимметричной задачи :

(56)

где S₁ и S₂ —поверхности с заданными граничными условиями второго и третьего родов соответственно.

Расчет выполняется в следующем порядке:

а) назначается количество четырехугольных областей, необязательно правильной формы, в соответствии с условиями однозначности.

б) назначаются граничные условия (конвективный теплообмен и мощности тепловыделения).

в) назначаются исходные данные для расчета мощности тепловыделения и коэффициентов теплоотдачи по теплоотдающим поверхностям.

г) вводятся условия для выполнения теплового расчета (время и номера узлов).

В соответствии с указанными условиями составляется расчетная схема шпинделя (рисунок 19), используемая для последующего расчета на ЭВМ.

Для теплового расчета шпиндельного узла был использован пакет программа «TEMOS».

Рисунок 19 – Расчетная схема шпиндельного узла при тепловом расчете

Рисунок 20 – Температурное поле шпиндельного узла

Рисунок 21 – Температурное поле отдельных узлов шпинделя

3.2 Динамический расчет шпиндельного узла

3.2.1 Динамические характеристики шпиндельного узла

На точность работы шпинделя оказывают влияние и динамические характеристики шпиндельного узла, которые являясь показателями динамического качества ШУ, достаточно точно определяют амплитуды колебаний переднего конца шпинделя.

Формы колебаний и их анализ позволяют наглядно представить характер деформирования основных элементов ШУ. Формы колебаний также дают представление о размере колебаний по всей длине шпинделя, что важно для правильного конструирования ШУ.

Низшие собственные частоты колебаний – важные характеристики ШУ, так как практически невозможна работа в резонансной зоне с частотой вращения, близкой к собственной частоте f_с (в интервале ±20).

Рисунок 22 – АЧХ шпиндельного узла по координате Х

Рисунок 23 – ФЧХ шпиндельного узла по координате Х

Рисунок 24 – АФЧХ шпиндельного узла по координате Х

Рисунок 24 - АЧХ шпиндельного узла по координатам Y и Z

Рисунок 25 – ФЧХ шпиндельного узла по координатам Y и Z

Рисунок 26 – АФЧХ шпиндельного узла по координатам Y и Z

3.2.2 Динамический анализ

Уравнение равновесия для стержневого конечного элемента, без учета гироскопического эффекта и действия центробежных сил, может быть записано в виде:

(57)

где [C_e] – матрица коэффициентов демпфирования;

– вектор узловых скоростей;

При допущении того, что материал стержня не оказывает существенного воздействия на демпфирование колебаний, которое осуществляется, главным образом, посредством упругих демпферов (пружин), расположенных в узлах стержневого элемента, матрица коэффициентов демпфирования принимает вид:

(58)

где

C_DOF – коэффициент демпфирования по соответствующей линейной (угловой) координате, Нс/м (Нмс/рад);

DOF – индекс, характеризующий степень свободы в рассматриваемом узле;

j – номер строки;

k – номер столбца;

– индекс узла

Матрицы [M_e], [K_e], {u} и {F} идентичны матрицам, используемым при статическом анализе.

По аналогии со статическим анализом уравнение равновесия для модели, состоящей n элементов, используемое при динамическом анализе, принимает вид:

(59)

где [M_g] – глобальная матрица масс модели;

– глобальный вектор узловых ускорений;

[C_g] – глобальная матрица коэффициентов демпфирования;

– глобальный вектор узловых скоростей.

Глобальная матрица масс [M_g] формируется путем последовательного суммирования соответствующих коэффициентов в элементных матрицах, то есть:

(60)

Матрицы [K_g], , и формируются также как и в случае статического анализа модели. Глобальная матрица коэффициентов демпфирования получается аналогично и имеет вид:

(61)

При динамическом анализе шпиндельного узла наибольший интерес представляют его частотные характеристики, определяемые при изменении входной координаты во времени по закону гармонических колебаний. Частота этих колебаний изменяется теоретически от нуля до бесконечности, а практически – в пределах некоторого диапазона частот, который называют рабочим. Для рассматриваемой модели входной координатой является сила или момент силы. Поэтому глобальный вектор узловых нагрузок принимает следующую форму:

(62)