Вопросы ДУ (Экзаменационные вопросы)

Вопросы для подготовки к экзамену по курсу «Дифференциальные уравнения», 2 курс, 8-го факультета, зимняя сессия 2003 / 2004 учебного года

1. Задачи, приводящие к ДУ. Основные определения: дифференциальное уравнение, его порядок, степень, общее и частное решение, интеграл, интегральная кривая. Основные задачи курса ДУ.

2. Геометрический смысл ДУ первого порядка. Приближенное геометрическое построение интегральных кривых методом изоклин. Задача Коши и формулировка теоремы Коши для ДУ первого порядка, разрешенного относительно производной.

3. Интегрируемые типы ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной: с разделяющимися переменными, однородные, линейные и приводящиеся к ним. Уравнения Бернулли и Риккати.

4. Уравнения в полных дифференциалах. Метод интегрирующего множителя. Теоремы о существовании и не единственности интегрирующего множителя. Способы определения интегрирующего множителя.

5. Задача Коши и формулировка теоремы Коши для ДУ первого порядка, не разрешенного относительно производной. Интегрирование ДУ первого порядка не разрешенных относительно производной. Метод введения параметра. Особые решения ДУ первого порядка, методы их определения

6. Основные определения: системы ДУ, ДУ высшего порядка, общих и частных решений и интегралов. Сведение задачи об интегрировании системы ДУ к ДУ высшего порядка и наоборот. Метод исключения и условия его применения. Методы интегрирования ДУ высшего порядка, допускающих понижение порядка.

7. Сведение ДУ высшего порядка к соответствующей нормальной системе ДУ. Векторная форма записи системы ДУ в нормальной форме Коши. Норма вектор-функции и ее свойства. Условие Липшица.

8. Задача Коши и теорема Коши для системы ДУ. Теорема Коши для ДУ высшего порядка. Доказательство теоремы Коши.

9. Следствия из теоремы Коши. Симметрическая форма записи системы ДУ. Первые интегралы системы ДУ, их определение и условия независимости. Метод интегрируемых комбинаций.

10. Приближенно-аналитические методы решения задачи Коши: последовательных приближений, степенных рядов, малого параметра. Оценка точности вычисления.

11. Численные методы решения задачи Коши: Эйлера, его модификации, Рунге-Кутта, Адамса. Устойчивость расчета. Формула Рунге для оценки точности вычислений.

12. Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Векторно-матричная и операторная формы записи линейной системы ДУ с переменными коэффициентами. Линейное ДУ высшего порядка с переменными коэффициентами и его операторная форма записи. Однородные и неоднородные системы и уравнения.

13. Теоремы о свойствах решений однородной линейной системы ДУ и линейного однородного ДУ высшего порядка. Линейная зависимость и независимость решений. Определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля-Якоби.

14. Фундаментальная и нормальная фундаментальная системы решений. Фундаментальная матрица. Матрица Коши. Запись решения задачи Коши с помощью матрицы Коши. Структура общего решения однородных линейных систем ДУ и однородных уравнений.

15. Система линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение системы во всех случаях корней (простых и кратных, действительных и мнимых) характеристического уравнения.

16. Линейное однородное ДУ высшего порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение во всех случаях корней (простых и кратных, действительных и мнимых) характеристического уравнения.

17. Линейные неоднородные системы ДУ и ДУ высшего порядка с переменными коэффициентами. Теоремы о свойствах решений. Структура общего решения. Методы определения частного решения: вариации произвольных постоянных (Лагранжа), Коши.

18. Методы подбора частного решения линейных неоднородных систем ДУ и ДУ высшего порядка с постоянными коэффициентами в случае специальной правой части.

19. Линейные ДУ с переменными коэффициентами, приводящиеся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.

20. Понижение порядка линейного ДУ. Приведение к простейшей форме линейного ДУ второго порядка. Формула Остроградского. Уравнения Эйлера и их интегрирование.

21. Постановка краевой задачи для обыкновенных ДУ. Линейные краевые задачи. Методы интегрирования. Общий метод. Метод функции Грина. Свойства функции Грина. Теорема о существовании решения краевой задачи.

22. Приближенно-аналитические методы решения краевых задач: коллокаций, наименьших квадратов (интегральный и точечный), Галеркина. Численные методы решения краевых задач: конечных разностей, прогонки. Оценка точности расчета.

23. Динамические системы. Фазовое пространство. Фазовые скорости и траектории. Движения по фазовым траекториям. Автономные и неавтономные динамические системы. Свойства траекторий решений автономных динамических систем, классификация фазовых траекторий. Точки покоя. Теорема о необходимом и достаточном условии принадлежности фазовой траектории состоянию равновесия системы.

24. Динамические системы второго порядка. Особые точки на фазовой плоскости. Типы особых точек, их определение и изображение на фазовой плоскости. Особые точки автономной динамической системы второго порядка в случае нелинейной правой части. Исследование нелинейных колебаний с одной степенью свободы методом фазовой плоскости.

25. Определения устойчивости, асимптотической устойчивости, устойчивости в целом и неустойчивости по Ляпунову невозмущенного решения ДУ и системы ДУ.

26. Теоремы об устойчивости решений линейных однородных и неоднородных ДУ и систем ДУ. Геометрическая интерпретация. Теоремы об устойчивости решений линейных однородных и неоднородных ДУ и систем ДУ с постоянными коэффициентами.

27. Сведение задачи об устойчивости невозмущенного решения системы ДУ к задаче об устойчивости тривиального решения. Теоремы об устойчивости по первому приближению.