85857 (Системы с постоянной четной частью)

Дипломная работа

"Системы с постоянной четной частью"

Содержание

Введение 3

1. Четные и нечетные вектор-функции 4

2. Основные сведения из теории отражающих функций 6

3. Системы чёт-нечет 11

4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная 14

5. Простые и простейшие системы 22

6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна 26

6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть 26

6.2 Построение систем с заданной четной частью 27

Заключение 31

Список использованных источников………………………………………… 25

Введение

Основным инструментом нашего исследования является понятие отражающей функции. Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.

При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

В данной работе мы будем рассматривать семейства решений с постоянной четной частью, т.е. когда четная часть будет представлена в виде константы.

Разберем примеры систем, семейства решений которых имеют постаянную четную часть. Будем изучать построение систем с заданной четной частью.

1. Четные и нечетные вектор-функции

По аналогии с вещественными функциями одной переменной, вектор-функцию , будем называть четной (нечетной), если для всех , является четной (нечетной) функцией, т.е. область определения симметрична относительно нуля и ( ).

Любую функцию с симметричной областью определения, можно представить как сумму четной и нечетной функций. Действительно, если

и

то

и является четной функцией, а – нечетной.

будем называть четной частью функции , – нечетной.

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций.

Свойство 1 Производная дифференцируемой четной (нечетной) функции есть функция нечетная (четная).

Доказательство. a) – четная функция.

Т.к. и существуют или не существуют одновременно, то , и . Таким образом, производная четной функции есть функция нечетная.

б) – нечетная функция.

Т.к. и существуют или не существуют одновременно, то , и . Таким образом, производная нечетной функции есть функция четная.

Свойство 2 Если – нечетная функция, то .

Доказательство. Поскольку – нечетная функция, то

Подставив вместо получаем

Откуда следует

2. Основные сведения из теории отражающих функций

Рассмотрим систему

11()

считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через обозначим интервал существования решения

Пусть

Определение: Отражающей функцией системы 1 назовем дифференцируемую функцию

определяемую формулой

22()

или формулами

Для отражающей функции справедливы свойства:

1) Для любого решения

системы 1 верно тождество

33()

2) Для отображающей функции любой системы выполнены тождества:

44()

3) Дифференцируемая функция

будет отражающей функцией системы 1 тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных

55()

и начальному условию

66()

Уравнение 5 будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

Доказательство. Свойство 1) следует непосредственно из определения 2. Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения системы 1 верны тождества

Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку проходит некоторое решение системы 1, и следуют тождества 5.

Приступим к доказательству свойства 3). Пусть – отражающая функция системы 1. Тогда для неё верно тождество 3. Продифференцируем это тождество по и воспользуемся тем, что – решение системы 1, и самим тождеством 3. Получим тождество

из которого в силу произвольности решения следует, что – решение системы 5. Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция удовлетворяет системе 5 и условию 6. Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи 5 – 6 функция должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.

Лемма Основная лемма 3 Пусть правая часть системы 1 -периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы 1 можно найти по формуле

и поэтому решение

системы 1 будет -периодическим тогда и только тогда, когда есть решение недифференциальной системы

77()

В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение.

Утверждение 4 Пусть непрерывно дифференцируемая функция -периодична и нечетна по , т.е.

и . Тогда всякое продолжение на отрезок решение системы 1 будет -периодическим и четным по .

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что функция удовлетворяет уравнению 5 и условию 6. Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение 7 в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение

Согласно основной лемме любое продолжимое на решение системы 1 будет -периодическим. Четность произвольного решения системы 1 следует из тождеств

справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.

Справедливы следующие утверждения 4.

Теорема 5 Пусть все решения системы 1 -периодичны и однозначно определяются своими начальными данными. Тогда отражающая функция этой системы -периодична по

Теорема 6 Пусть система 1 -периодична по а ее решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех Если, кроме того, отражающая функция этой системы -периодична по то все решения системы 1 периодичны с периодом

Аналогичная теорема имеет место в том случае, когда не все решения системы 1 продолжимы на отрезок При этом заключение о -периодичности можно сделать лишь для тех решений, которые существуют при всех

Из -периодичности отражающей функции следует -периодичность всех продолжимых на решений периодической системы 1. Из -периодичности отражающей функции не следует, вообще говоря, -периодичность решений -периодической системы, хотя следует их -периодичность.

Не следует думать, что если все решения -периодической системы -периодичны, то ее отражающая функция обязана быть -периодической. Этому противоречит пример уравнения

В случае, когда , т.е. когда система 1 вырождается в уравнение, верна

Теорема 7 Пусть уравнение 1 -периодично по а его решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех Тогда для того, чтобы все решения уравнения 1 были -периодичны, необходима и достаточна -периодичность по отражающей функции этого уравнения.

3. Системы чёт-нечет

Рассмотрим систему

88()

Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:

а) Функция непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы 8 имеет единственное решение;

б) Правая часть системы 8 -периодична по .

Лемма 8 Пусть система 8 удовлетворяет условиям а) и б). Тогда продолжимое на отрезок решение этой системы будет -периодическим тогда и только тогда, когда

где

– есть нечетная часть решения .

Доказательство. Пусть – -периодическое решение системы 8. Тогда

Необходимость доказана.

Пусть – решение системы 8, для которого . Тогда

и поэтому

Таким образом, точка есть неподвижная точка отображения за период, а решение – -периодическое.

Доказанная лемма, вопрос о периодичности решения

сводит к вычислению одного из значений нечетной части . Иногда относительно можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида 8. Дифференцируемые функции

удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим: