Утверждение 4.

При умножении простого гауссова числа на обратимое снова получается простое гауссово число.

Утверждение 5.

Если у гауссова числа взять необратимый делитель с наименьшей нормой, то он будет простым гауссовым.

Доказательство.

Пусть такой делитель является составным числом. Тогда , где и необратимые гауссовы числа. Перейдем к нормам, и согласно (3) получим, что . Так как эти нормы натуральны, то имеем, что , а в силу (12), является необратимым делителем данного числа Гаусса, что противоречит выбору .

Ч.Т.Д.

Утверждение 6.

Если не делится на простое гауссово число , то НОД( , )=1.

Доказательство.

Действительно, простое число делится только на числа союзные с 1 или с . А так как не делится на , то на союзные с тоже не делится. Значит, их общими делителями будут только обратимые числа.

Ч.Т.Д.

Лемма 7. Лемма Евклида.

Если произведение гауссовых чисел делится на простое гауссово число , то хотя бы один из множителей делится на .

Доказательство.

Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда произведение содержит только два множителя. То есть покажем, что если делится на , то либо делится на , либо делится на .

Пусть не делится на , тогда НОД( , )=1. Следовательно, существуют такие гауссовы числа и , что . Умножим обе части равенства на , получим, что , отсюда следует, что , как сумма чисел делящихся на .

Ч.Т.Д.

1.4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ.

Любое ненулевое гауссово число можно представить в виде произведения простых гауссовых чисел, причем это представление единственно с точностью до союзности и порядка сомножителей.

Замечание 1.

Обратимое число имеет в своем разложении нуль простых множителей, то есть представляется самим собой.

Замечание 2.

Более точно единственность формулируется следующим образом. Если имеются два разложения на простые гауссовы множители, то есть , то и можно так перенумеровать числа , что будет союзно с , при всех от 1 до включительно.

Доказательство.

Доказательство проведем индукцией по норме.

База. Для числа с единичной нормой утверждение очевидно.

Пусть сейчас — ненулевое необратимое гауссово число, и для всех чисел Гаусса с нормой меньшей утверждение доказано.

Покажем возможность разложения на простые множители. Для этого обозначим через необратимый делитель , имеющий наименьшую норму. Этот делитель должен быть простым числом по утверждению 5. Тогда . Таким образом, мы имеем и по индуктивному предположению представимо в виде произведения простых чисел. Значит, раскладывается в произведение этих простых и .

Покажем единственность разложения на простые множители. Для этого возьмем два произвольных таких разложения:

.

По лемме Евклида в произведении один из множителей должен делиться на . Можно считать, что делится на , иначе перенумеруем. Так как они простые, то , где обратимо. Сокращая обе части нашего равенства на , получим разложение на простые множители числа , по норме меньшего, чем .

.

По индуктивному предположению и можно перенумеровать числа так, что будет союзно с , с , …, с . Тогда и при этой нумерации союзно с при всех от 1 до включительно. Значит, разложение на простые множители единственно.

Ч.Т.Д.

Пример однопорожденного кольца над без ОТА.

Рассмотрим . Элементами этого кольца являются числа вида , где и произвольные целые числа. Покажем, что в нем не выполняется основная теорема арифметики. Определим в этом кольце норму числа следующим образом: . Это действительно является нормой, так как нетрудно проверить, что . Пусть и . Тогда

.

Заметим, что .

Покажем, что в рассматриваемом кольце числа являются простыми. Действительно, пусть — одно из них и . Тогда имеем: Так как в этом кольце нет чисел с нормой 2, то или . Обратимыми элементами будут числа с единичной нормой и только они. Значит, в произвольном разложении на множители найдется обратимый множитель, следовательно, просто.

ГЛАВА 2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ГАУССА.

Чтобы понять какие гауссовы числа являются простыми, рассмотрим ряд утверждений.

Теорема 8.

Каждое простое гауссово является делителем ровно одного простого натурального.

Доказательство.

Пусть — простое гауссово, тогда . По основной теореме арифметики натуральных чисел раскладывается в произведение простых натуральных. А по лемме Евклида хотя бы один из них делится на .

Покажем сейчас, что простое Гауссово не может делить два различных простых натуральных. Действительно, пусть и различные простые натуральные, делящиеся на . Поскольку НОД( )=1, то по теореме о представлении НОД в целых числах существуют и — целые числа такие, что . Отсюда , что противоречит простоте .

Ч.Т.Д.

Таким образом, раскладывая каждое простое натуральное на простые гауссовы, мы переберем все простые гауссовы, причем без повторений.

Следующая теорема показывает, что каждого простого натурального «получается» не более двух простых гауссовых.

Теорема 9.

Если простое натуральное разложено в произведение трех простых гауссовых, то хотя бы один из множителей обратим.

Доказательство.

Пусть — простое натуральное такое, что . Перейдя к нормам, получим:

.

Из этого равенства в натуральных числах следует, что хотя бы одна из норм равна 1. Следовательно, хотя бы одно из чисел — обратимо.

Ч.Т.Д.

Лемма 10.

Если гауссово число делится на простое натуральное , то и .

Доказательство.

Пусть , то есть . Тогда , , то есть , .

Ч.Т.Д.

Лемма 11.

Для простого натурального числа вида , существует натуральное такое, что .

Доказательство.

Теорема Вильсона гласит, что целое число является простым тогда и только тогда, когда . Но , отсюда . Раскроем и преобразуем факториал:

.

Отсюда получаем, что , т.е. .

Таким образом, мы получили, что , где = .

Ч.Т.Д.

Сейчас мы готовы описать все простые гауссовы числа.

Теорема 12.

Все простые гауссовы можно разбить на три группы:

1). Простые натуральные вида , являются простыми гауссовыми;

2). Двойка союзна с квадратом простого гауссова числа ;

3). Простые натуральные вида , раскладываются в произведение двух простых сопряженных гауссовых.

Доказательство.

1). Предположим, что простое натуральное вида не является простым гауссовым. Тогда , причем и . Перейдем к нормам: . Учитывая указанные неравенства, получим , то есть — сумма квадратов двух целых чисел. Но сумма квадратов целых чисел не может давать остаток 3 при делении на 4.

2). Заметим, что

.

Число — простое гауссово, так как иначе двойка разложилась бы на три необратимых множителя, что противоречит теореме 9.

3). Пусть простое натуральное вида , тогда по лемме 11 существует целое число такое, что . Пусть — простое гауссово. Так как , то по лемме Евклида на делится хотя бы один из множителей. Пусть , тогда существует гауссово число такое, что . Приравнивая коэффициенты мнимых частей получим, что . Следовательно, , что противоречит нашему предположению о простоте . Значит — составное гауссово, представимое в виде произведения двух простых сопряженных гауссовых.

Ч.Т.Д.

Утверждение.

Гауссово число, сопряженное к простому, само является простым.

Доказательство.

Пусть простое число гаусса. Если предположить, что составное, то есть . Тогда рассмотрим сопряженное: , то есть представили в виде произведения двух необратимых сомножителей, чего не может быть.

Ч.Т.Д.

Утверждение.

Гауссово число, норма которого есть простое натуральное число, является простым гауссовым числом.

Доказательство.

Пусть составное число, тогда . Рассмотрим нормы.

То есть получили, что норма составное число, а по условию есть простое число. Следовательно, наше предположение не верно, и есть простое число.

Ч.Т.Д.

Утверждение.

Если простое натуральное число не является простым гауссовым, то оно представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство.

Пусть простое натуральное число и не является простым гауссовым. Тогда . Так как равны числа, то равны и их нормы. То есть , отсюда получаем .

Возможно два случая:

1). , то есть представили в виде суммы двух квадратов.

2). , то есть , значит обратимое число, чего не может быть, значит этот случай нас не удовлетворяет.