85692 (Кольцо целых чисел Гаусса)
Описание файла
Документ из архива "Кольцо целых чисел Гаусса", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85692"
Текст из документа "85692"
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики
преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
на тему: Кольцо целых чисел Гаусса.
Выполнил:
студент V курса
математического факультета
Гнусов В.В.
___________________________
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры
алгебры и геометрии
Семенов А.Н..
___________________________
Рецензент:
кандидат физ.-мат. наук, доцент
кафедры алгебры и геометрии
Ковязина Е.М.
___________________________
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой________________ Вечтомов Е.М.
« »________________
Декан факультета___________________ Варанкина В.И.
« »________________
Киров 2005
Содержание.
Введение. 2
ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА. 3
1.1 ОБРАТИМЫЕ И СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. 4
1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. 5
1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА. 6
1.4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ. 9
ГЛАВА 2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ГАУССА. 12
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЕЛ ГАУССА. 17
Заключение. 23
Введение.
Кольцо целых комплексных чисел было открыто Карлом Гауссом и названо в его честь гауссовым.
К. Гаусс пришел к мысли о возможности и необходимости расширения понятия целого числа в связи с поиском алгоритмов решения сравнений второй степени. Он перенес понятие целого числа на числа вида , где — произвольные целые числа, а — является корнем уравнения На данном множестве К. Гаусс впервые построил теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел. Он обосновал справедливость основных свойств делимости; показал, что в кольце комплексных чисел существует только четыре обратимых элемента: ; доказал справедливость теоремы о делении с остатком, теоремы о единственности разложения на простые множители; показал какие простые натуральные числа останутся простыми и в кольце ; выяснил природу простых целых комплексных чисел.
Развитая К. Гауссом теория, описанная в его труде «Арифметические исследования», явилась фундаментальным открытием для теории чисел и алгебры.
В выпускной работе были поставлены следующие цели:
1. Развить теорию делимости в кольце чисел Гаусса.
2. Выяснить природу простых гауссовых чисел.
3. Показать применение гауссовых чисел при решении обычных диофантовых задач.
ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА.
Рассмотрим множество комплексных чисел. По аналогии с множеством действительных чисел в нем можно выделить некоторое подмножество целых чисел. Множество чисел вида , где назовем целыми комплексными числами или гауссовыми числами. Нетрудно проверить, что для этого множества выполняются аксиомы кольца. Таким образом, это множество комплексных чисел является кольцом и называется кольцом целых чисел Гаусса. Обозначим его как , так как оно является расширением кольца элементом: .
Поскольку кольцо гауссовых чисел является подмножеством комплексных чисел, то для него справедливы некоторые определения и свойства комплексных чисел. Так, например, каждому гауссовому числу соответствует вектор с началом в точке и с концом в . Следовательно, модуль гауссова числа есть . Заметим, что в рассматриваемом множестве, подмодульное выражение всегда есть число неотрицательное целое. Поэтому в некоторых случаях удобнее пользоваться нормой, то есть квадратом модуля. Таким образом . Можно выделить следующие свойства нормы. Для любых гауссовых чисел справедливо:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Здесь и далее — множество натуральных чисел, то есть целых положительных чисел.
Справедливость данных свойств тривиальным образом проверяется с помощью модуля. Попутно заметим, что (2), (3), (5) справедливы и для любых комплексных чисел.
Кольцо гауссовых чисел — это коммутативное кольцо без делителей 0, так как оно является подкольцом поля комплексных чисел. Отсюда следует мультипликативная сократимость кольца , то есть
(6)
1.1 ОБРАТИМЫЕ И СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ.
Посмотрим, какие гауссовы числа будут обратимыми. Нейтральным по умножению является . Если гауссово число обратимо, то, по определению, существует такое, что . Переходя к нормам, согласно свойству 3, получим . Но эти нормы натуральны, следовательно . Значит, по свойству 4, . Обратно, все элементы данного множества обратимы, поскольку . Следовательно, обратимыми будут числа с нормой равной единице, то есть , .
Как видно не все гауссовы числа будут обратимы. Поэтому интересно рассмотреть вопрос делимости. Как обычно, мы говорим, что делится на , если существует такое, что .Для любых гауссовых чисел , а также обратимых справедливы свойства.
(7)
(8)
(9)
(10)
, где (11)
(12)
Легко проверяются (8), (9), (11), (12). Справедливость (7) следует из (2), а (10) следует из (6). В силу свойства (9), элементы множества ведут себя по отношению к делимости точно так же как и , и называются союзными с . Поэтому естественно рассматривать делимость гауссовых чисел с точностью до союзности. Геометрически на комплексной плоскости союзные числа будут отличаться друг от друга поворотом на угол кратный .
1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ.
Пусть надо поделить на , но невозможно произвести деление нацело. Мы должны получить , и при этом должно быть «мало». Тогда покажем, чтó брать в качестве неполного частного при делении с остатком во множестве гауссовых чисел.
Лемма 1. О делении с остатком.
В кольце возможно деление с остатком, при котором остаток меньше делителя по норме. Точнее, для любых и найдется такое, что . В качестве можно взять ближайшее к комплексному числу гауссово число.
Доказательство.
Разделим на во множестве комплексных чисел. Это возможно, так как множество комплексных чисел является полем. Пусть . Округлим действительные числа и до целых, получим соответственно и . Положим . Тогда
.
Умножая сейчас обе части неравенства на получим, в силу мультипликативности нормы комплексных чисел, что . Таким образом, в качестве неполного частного можно взять гауссово число , которое как нетрудно видеть, является ближайшим к .
Ч.Т.Д.
1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.
Мы пользуемся обычным для колец определением наибольшего общего делителя. НОД’ом двух гауссовых чисел называется такой их общий делитель, который делится на любой другой их общий делитель.
Как и во множестве целых чисел, во множестве гауссовых чисел для нахождения НОД пользуются алгоритмом Евклида.
Пусть и данные гауссовы числа, причем . Разделим с остатком на . Если остаток будет отличен от 0, то разделим на этот остаток, и будем продолжать последовательное деление остатков до тех пор, пока оно будет возможно. Получим цепочку равенств:
, где
, где
, где
……………………….
, где
Эта цепочка не может продолжаться бесконечно, так как имеем убывающую последовательность норм, а нормы — неотрицательные целые числа.
Теорема 2. О существовании НОД.
В алгоритме Евклида, примененному к числам Гаусса и последний ненулевой остаток есть НОД( ).
Доказательство.
Докажем, что в алгоритме Евклида действительно получаем НОД.
1.Рассмотрим равенства снизу вверх.
Из последнего равенства видно, что .Следовательно, как сумма чисел делящихся на . Так как и , то следующая строчка даст . И так далее. Таким образом, видно, что и . То есть это общий делитель чисел и .
Покажем, что это наибольший общий делитель, то есть делится на любой другой их общий делитель.
2. Рассмотрим равенства сверху вниз.
Пусть — произвольный общий делитель чисел и . Тогда , как разность чисел делящихся на , действительно из первого равенства . Из второго равенства получим, что . Таким образом, представляя в каждом равенстве остаток как разность чисел делящихся на , мы из предпоследнего равенства получим, что делится на .
Ч.Т.Д.
Лемма 3. О представлении НОД.
Если НОД( , )= , то существуют такие целые гауссовы числа и , что .
Доказательство.
Рассмотрим снизу вверх цепочку равенств, полученную в алгоритме Евклида. Последовательно подставляя вместо остатков их выражения через предыдущие остатки, мы выразим через и .
Ч.Т.Д.
Гауссово число называется простым, если его нельзя представить в виде произведения двух необратимых сомножителей. Следующее утверждение очевидно.