Доказательство:

∆ Для доказательства этого утверждения возьмём систему D  ' всех таких множеств X D, что X B и X A₁ = A₀, и покажем, что D  ' обладает максимальным элементом. Во-первых, D  ' ≠ , так как B D  '. Пусть теперь (X_i) – некоторая цепь в D  ' и положим X = sup X_i. Тогда X D, так как система D   индуктивна. Далее X B и X A₁ = A₀; поэтому X D  '. Таким образом, система D  ' индуктивна, и по лемме Цорна D  ' обладает максимальным элементом. ▲

§ 5. Задачи

Задача 1. Установить, что при соответствии Галуа X X^*, Y Y^* выполняется тождество ( X_i)^* =  X_i^*, для произвольных семейств подмножеств (X_i)_{i I}.

Решение:

Без ограничения общности возьмём два множества X₁ и X₂ и покажем, что (X₁ X₂)^* = X₁^* X₂^*.

Множеству X₁ поставим в соответствие множество X₁^*:

X₁^* = {y₁ B|(x₁, y₁) Ф для всех x₁ X₁}.

Аналогично для множества X₂:

X₂^* = {y₂ B|(x₂, y₂) Ф для всех x₂ X₂}.

Пусть X₃ = X₁ X₂. Тогда (X₁ X₂)^* или X₃^* будет иметь следующую структуру: X₃^* = {y₃ B|(x₃, y₃) Ф для всех x₃ X₃} или другими словами это такие y₃ из B, что пары (x₁, y₃) и (x₂, y₃) должны принадлежать соответствию Ф одновременно для всех x₁ и x₂ из X₁ X₂. То есть множество элементов y₃ из B это множество, состоящее из элементов y₁ X₁^* и y₂ X₂^*, которые одновременно должны удовлетворять соотношениям (x₁, y₁) Ф, (x₁, y₂) Ф, (x₂, y₁) Ф, (x₂, y₂) Ф. То есть элементы y₃ принадлежат пересечению множеств X₁^* и X₂^*, что и требовалось показать.

Задача 2. Пусть X H(X) – произвольное отображение множества B (A) в себя. Показать, что (X) = H(X) X определяет оператор замыкания тогда и только тогда, когда X (Y) влечёт (X) (Y).

Решение:

1. докажем прямое утверждение: если (X) = H(X) X определяет оператор замыкания тогда X (Y) влечёт (X) (Y).

Пусть X (Y), то есть X H(Y) Y. Так как по условию (Y) = H(Y) Y – оператор замыкания, то для него выполняются аксиомы J. 1 – J. 3. Применим аксиому J. 1 к X H(Y) Y и аксиому J. 3 к ((Y)):

X H(Y) Y  H(X) X H(H(Y) Y) (H(Y) Y) H(X) X H(Y) Y. То есть (X) (Y).

1. докажем обратное утверждение: если X (Y) влечёт (X) (Y) тогда (X) = H(X) X определяет оператор замыкания.

Для доказательства обратного утверждения, необходимо проверить выполнимость аксиом J. 1 – J. 3 оператора замыкания.

Для начала докажем вспомогательное утверждение о том, что Y X^* тогда и только тогда, когда X Y^*.

Доказательство:

∆ Докажем прямое утверждение.

Пусть Y X^*. Тогда, применив к нему свойство (7), получим Y^* X^**. По свойству (7) имеем включение X X^**. Следовательно, получаем X X^** Y^* или X Y^*.

Докажем обратное утверждение.

Пусть X Y^*. Тогда X^* Y^** Y ▲

J. 1: пусть X Y и Y (X), тогда по доказанному выше утверждению включение Y (X) равносильным образом можно заменить на X (Y). Получим, что X X (Y) или X (Y). Тогда по условию пункта b) задачи X (Y) влечёт (X) (Y). Следовательно, если X Y, то (X) (Y).

J. 2: пусть X Y и Y (X) по утверждению, значит, X (X).

J. 3: по J. 2 X (X). Применим к нему свойство (7), получим (X) (X). Применим это же свойство к X (Y) (X) (Y), получим (X) (Y) (X) (Y). Далее по утверждению Y (X) (Y) (X). Получили (Y) (X) (Y). При этом (Y) (X) (по утверждению). Следовательно, мы получаем обратное включение (X) (X). Тем самым получили, что (X) = (X).

Следовательно, (X) = H(X) X – оператор замыкания.

Задача 3. Показать, что множество всех предупорядоченностей ρ на множестве A является алгебраической системой замыканий. Верно ли это для множества всех упорядоченностей?

Решение:

Непустое множество назовём предупорядоченным, если введенное на нём бинарное отношение ρ рефлексивно и транзитивно. Такое отношение ρ называется отношением предпорядка на A.

Пусть X A A, или X B (A A). Обозначим через J(X) пересечение всех предпорядков на A, содержащих X:

J(X) = {ρ – предпорядок на A: X ρ}.

Так как при пересечении бинарных отношений на множестве свойства рефлексивности и транзитивности сохраняются, то J(X) – наименьший предпорядок на A, содержащий X. Ясно, что A A является предпорядком на A. Поэтому система всех предпорядков на A является системой замыканий на этом множестве.

Остаётся проверить, будет ли система предпорядков алгебраической. Для этого возьмём произвольную пару (a, b) J(X), где X A A. Предпорядок J(X) получается из множества пар X добавлением пар вида (c, c), где c A, и его расширением по транзитивности: если уже получены пары (d, e) и (e, f), то добавляем и пару (d, f). При этом пара (a, b) в результате последовательного применения расширений по рефлексивности и транзитивности принадлежит конечному множеству пар F X. Следовательно, (a, b) J(F).

Для множества всех упорядоченностей верно лишь в том случае, когда множество A содержит один элемент. Иначе, не выполняется свойство антисимметричности.

Задача 4. Показать, что совокупность всех алгебраических систем замыканий на данном множестве A является системой замыканий на B (A). Всегда ли эта система замыканий будет алгебраической?

Решение:

Очевидно, что множество всех алгебраических систем замыкания на данном множестве A является системой замыкания на булеане B (A). Чтобы показать, является ли эта система алгебраической, воспользуемся теоремой 2.

Будем считать, что имеется семейство алгебр , i I. Каждой из них поставлена система подалгебр S( ). Пересечению соответствующих систем замыканий соответствует алгебра , при Ω= . Для произвольного подмножества X в A рассмотрим подалгебру алгебры . И возьмём элемент a из . Элемент a выражается через конечное множество элементов из с помощью последовательного применения конечного числа операций из Ω. Следовательно, a принадлежит замыканию .

Библиографический список

1. Кон П. Универсальная алгебра – М.: Мир, 1968. – 352 с.

2. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре – М.: Наука, 1973. – 400 с.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры – СПб.: Лань, 2006. – 432 с.

4. Оре О. Теория графов – М.: Наука, 1968. – 336 с.

5. Общая алгебра. Т. 1 / под общ. ред. Л. А. Скорнякова – М.: Наука, 1990. – 592 с.

6. Постников М. М. Теория Галуа – М.: Издательство физико-математической литературы, 1963. – 220 с.

7. Риге Ж., Бинарные отношения, замыкания, соответствия Галуа // Кибернетический сборник / под ред. А. А. Ляпунова, О. Б. Лупанова. – вып. 7. – М.: Издательство иностранной литературы, 1963. – С. 129-185.

4