84050 (Настоящая теория чисел), страница 2

Например.

|-125 = -8, |-13 = -4 и т.д.

2.5. Соответствие натуральных корней и их эманаций.

Определение.

Соответствующими эманациями натурального корня n являются все эманации этого корня в положительном ряду чисел, а также все отрицательные числовые значения, обнаруженные в отрицательном ряду чисел, отличающиеся от числа n на -k9. Отрицательный числовой ряд имеет также, как и положительный ряд девять натуральных корней от 0 до -9, которые соответствуют положительным натуральным корням, как это указано выше.

Например, натуральные корни 1 и -8, 2 и -7, 3 и -6, 4 и -5, 5 и -4, 6 и -3, 7 и -2, 8 и -1, а также их эманации будут соответствующими.

Для натурального корня 0 его противоположными и соответствующими числами одновременно будут являться только его собственные эманации, образуя симметрию числового ряда. Все действия с отрицательными натуральными корнями и их эманациями соответствуют всему, что излагается о взаимодействиях в положительной числовой шкале.

2.6. Теорема 2.

Любое многозначное целое число Х можно привести к виду неизменного натурального однозначного числа t, где t = [0,1,2,...,8], путем последовательного и поэтапного сложения цифр, составляющих число Х, и/или их комбинаций вне зависимости от мест первоначальных цифр в комбинации.

Фактически, нам необходимо доказать, что натуральное однозначное число t, полученное в результате сложения сумм и/или комбинаций, равно целому остатку х, полученному в результате вычитания из числа Х целого числа девяток n9, т.е. t = х.

Рассмотрим принципы появления значности чисел. Первое число

10...0 новой значности всегда строится по принципам:

1. Число 10...0 всегда равно некоторому целому количеству девяток плюс единица:

10...0 = z9 + 1, причем z всегда имеет значение члена ряда 1,11,111,1111 и т.д. в

зависимости от значности числа 10...0.

2. Запись числа 10...0 всегда производится как некоторое количество нулей и одна единица.

Используя принцип 2, можно утверждать, что сумма цифр первого числа новой значности 1+ 0+0+0+...+0 всегда будет равна n0 + 1, т.е. равна 1.

Таким образом, можно сделать вывод, что для первого числа новой значности сумма его цифр 1+ 0+0+0...+0 =1 всегда будет равна остатку 1

целого числа 10...0 за вычетом целого числа девяток 10...0 - z9 = 1.

Докажем, что сумма цифр любого другого числа abcd...k также равна остатку за вычетом целого числа девяток.

Так как число abcd...k мы можем разложить на на целое число десятков, сотен, тысяч и т.д. плюс остаток, то мы можем число abcd...k представить в виде:

abcd...k = а(w9+1) + b(q9+1) + c(v9+1) + d(j9+1)...+k = аw9+a + bq9+b + cv9+c + dj9+d...+k

Мы получили остатки a, b, c, d...k. Число abcd...k, как мы видим, составлено из этих же цифр. Таким

образом, сумма цифр a+b+c+d+...+k числа abcd...k также равна остатку х за вычетом целого числа девяток ______

abcd...k = n9 +x, где х= a+b+c+d+...+k, n9= аw9+bq9+cv9+dj9.

В том случае, если сумма цифр a+b+c+d+...+k больше девяти, то из полученного в результате сложения числа мы вычленим целое число девяток е и присоединим его к n9.

Таким образом, можно утверждать, что запись цифр числа abcd...k следует считать записью остатков от вычитания из десятков, сотен, тысяч и т.д. целого числа девяток. ______

При различных комбинациях цифр числа abcd...k и дальнейшем их сложении сумма цифр не изменится, так как сумма остатков не изменится от перестановки цифр - остатков, обозначающих число десятков, сотен и т.д.

Таким образом, любое многозначное целое число Х можно привести к виду неизменного натурального однозначного числа t, где t = [0,1,2,...,8], путем последовательного и поэтапного сложения цифр, составляющих число Х, и/или их комбинаций вне зависимости от мест первоначальных цифр в комбинации и число t будет равно сумме остатков от вычитания из десятков, сотен, тысяч и т.д. целого числа девяток или последнего однозначного числа в любой другой системе счисления.

Раздел 3. Действия с эманациями и натуральными корнями

k

Для удобства действий с эманациями присвоим этому действию знак Эn , означающий k-ую эманацию натурального корня n.

3.1. Сложение

Пример.

Для рассмотрения операции сложения, рассмотрим сумму двух чисел 245 и 28.

245 + 28 = 273.

Извлечем натуральные корни из слагаемых:

____ ____

|245 = 2 и |28 =1.

Сложим натуральные корни слагаемых:

2 + 1 = 3, и извлечем натуральный корень из полученной в начале решения суммы:

____

|273 = 3.

Во всех примерах данного раздела будем рассматривать операции с эманациями натурального корня 0, чтобы показать что при операциях с такими числами они "ведут себя" аналогично 0.

Пример.

Сложить числа 198 и 3594 и их натуральные корни.

______ ______ ______

0 |3594 + 3|3594 = 3 |3792

Как видно из примера, натуральный корень числа 198 не повлиял на результат сложения натуральных корней слагаемых, т.е. мы получили одно из свойств нуля для его эманаций.

3.2. Вычитание.

Рассмотрим три условия для выражения х - у = z.

__ __

1. Если х > у и |х > |у

Например, 294 - 112 = 182

____ ____ ____

|294 = 6, |112 = 4 Разница натуральных корней 6 - 4 = 2 и |182 = 2

__ __

Таким образом, при выполнении условияусловия |х > |у для выражения х - у= z верно утверждение, что разница натуральных корней вычитаемых чисел х и у равна натуральному корню из их разницы.

___ ____ _________

n|х - k |у = (n-k) |(x-y)

__ __

2. Если х > у ,а |х < |у

Например, 190 - 52 = 138

____ ___ ____

|190 = 1, |52 = 7 Разница натуральных корней 1 - 7 = -6, но натуральный корень разницы |138 = 3.

Для приведения этого неравенства к виду равенства достаточно заменить больший натуральный корень числа у на соответствующее ему в эманационном ряду числа у отрицательное значение.

Например, заменим натуральный корень 52, равный 7, на соответствующий корень, равный -2. Тогда разница натуральных корней для выражения 190 - 52 = 138 будет 1 - (-2) = 3.

Для удобства можно эту операцию производить только для натурального корня разницы. Например, замена

____

натурального корня разницы |138 = 3 на соответствующее значение натурального корня, равное -6, приведет нас к равенству 1 - 7 = -6.

__ __

Таким образом, при условии |х < |у для выражения х - у = z разница натуральных корней вычитаемых чисел х и у равна натуральному корню из их разницы при применении соответствующих отрицательных эманаций числа у или числа z.

__ __

3. Если х |у

Например.

52 - 190 = -138

____ ____

|52 = 7, |190 = 1 Разница натуральных корней 7 - 1 = 6,

_____

но |-138 = -3. При применении принципа замены натурального корня на соответствующее ему противоположное значение равенство действительно. Так, при замене -3 на 6 уравнение верно.

Необходимо отметить свойство эманаций нуля в операции вычитания.

___

Если в выражении х - у = z |у = 0, то натуральный корень разницы z, будет равен натуральному корню числа х, т.е. не изменится, что указывает на проявление эманациями нуля в операции вычитания свойств нуля.

Например. Найдем разницу 155 - 72 = 83

____ ____ ____

2|155 - 0 |72 = 2 |83

__ __

4. Если х < у и |х < |у

Например.

____ ____ ____

5|77 - 8 |98 = -3 |-21

Таким образом, для данного условия верно утверждение, что разница натуральных корней вычитаемых чисел равна натуральному корню их разницы.

3.3.УМНОЖЕНИЕ.

Пример. Умножить чмсла 154 и 32 и их натуральные корни:

154 * 32 = 4928

_____ ___

|154 = 1 и |32 = 5;

Перемножим корни:

______ _____ ____ ______

5 * 1 = 5 и 5|4928 , т.е.1 |154 * 5 |32 = 5 |4928 .

Пример. Умножить числа 27 и 85 и их натуральные корни.

27 * 85 = 2295.

___

|85 = 4.

3

Число 270 является третьей эманацией 0, т.е. Э = 27.

_____

Но и число 2295 является эманацией 0, только 255-ой. => 27 * 85 = 0|2295.

Очевидно, что эманации нуля проявляют его свойства при их умножении на другие числа, т.е. в результате умножения дают нуль.

Свойство. Натуральный корень из произведения, одним из множителей которого является эманация нуля, всегда будет равен нулю.

р k n

Эо * Эm = Э о

Закон умножения натуральных корней. Натуральный корень произведения множителей равен произведению натуральных корней этих множителей.

___ ___ _______

n |х * k|у = n*k |x*у

3.4. Деление.

1. Деление эманаций натурального корня n на число у.

Чтобы выяснить, какие эманации натурального корня n делятся без остатка на число у, необходимо выяснить номер эманации числа, которое первым в эманационном ряду натурального корня n делится без остатка на число у.

Обозначим этот номер эманации через N.

Например, в эманационном ряду натурального корня n=2: 2,11,20,29, 38,47,56 на число у=19 первой делится эманация 38 с номером эманации N = 4.

На число у без остатка будут делиться эманации натурального корня n, номер эманации которых равен

Nэ = N + ау, где а - любое целое число, т.е. эманации вида Эх = 9(N + ау) + х.

Например. Выясним, какие эманации n=1 без остатка делятся на число 4. Номер эманации n=1, которая первой делится на число 4 без остатка N = 3, соответствующий числу 28. Таким образом на 4 без остатка будут делиться все эманации единицы вида:

Э1 = 9(3 + а4) + 1 = 28 + 36а.

Если а = 2, то Э = 9(3 + 2*4) + 1 = 100.

Число 100 действительно без остатка делится на 4, т.к. 100 : 4 = 25.

Для определения эманации числа х, которая первой делится на число у, введем равенство а = 0.

Правило 2. При делении последовательно-возрастающих эманаций натурального корня n на число у, получаемые в результате деления числа будут являться членами некоторого эманационного ряда числа z.

Таким образом, число а в указанной выше формуле показывает номер эманации частного.

Например. Выясним, какие эманации числа 7 будут делиться на число 13. Номер эманации первого деления

N = 5.

Тогда на число 13 без остатка будут делиться эманации числа 7 вида Э7 = 9(5 + а13) + 7.

При а = 0 Э7 = 9(5 + 0*13) + 7 = 52, 52 : 13 = 4,

при а = 1 Э7 = 9(5 + 1*13) + 7 = 169, 169 : 13 = 13,

при а =2 Э7 = 9(5 + 2*13) + 7 = 286, 286 : 13 = 22.

В результате такого деления мы получили эманационный ряд числа 4: числа 4, 13,22.

2. Деление эманаций натурального корня n на эманации натурального корня k.

Для того, чтобы выяснить, какие последовательно-возрастающие эманации натурального корня n делятся на последовательновозрастающие эманации натурального корня k без остатка, необходимо знать:

а) номер эманации натурального корня n, которая первой делится на натуральный корень k. Обозначим ее через P.

б) постоянную дельту d - разницу между каждым следующим и данным номером эманаций натурального корня n, делящихся на эманации натурального корня k.

Дельта d = n:k.

На последовательно-возрастающие эманации натурального корня k будут делиться последовательно- возрастающие эманации натурального корня n c номерами эманаций вида Nэ = P + dc,

где c - номер эманации натурального корня k, на которую делится данная эманация натурального корня вида

Эх = 9(P + dc) + х.

Например.

а) выясним, какие эманации натурального корня 1, будут делиться без остатка на эманации натурального корня 5.

Номер эманации первого деления P = 1, постоянная дельта d = 2. Таким образом на эманации числа 5 будут делиться эманации натурального корня 1 вида

Э1 = 9(1 + 2*с) + 1.

При а = 1, Э1 = 9(1 +2*1) + 1 = 28.

Данная эманация натурального корня 1 делится на первую эманацию натурального корня 5, т.е. на 14.

28 : 14 = 2.

б) выясним, какая эманация числа 5 делится на третью эманацию числа 4, т.е. на 31. Номер эманации первого деления P = 3, d = 8.

Э5 = 9(3 + 3*8) + 5 = 248, 248 : 31 = 8, т.е. на 4-ю эманацию натурального

корня 4 - число 31 делится число 248, являющееся эманацией натурального корня 5.

Правило 3. При вышеуказанном принципе деления частное остается постоянным.

Если мы знаем номер эманации натурального корня n - N, эманация которого первой делится на некоторую эманацию натурального корня k - Э и знаем постоянную дельту d, то номер эманации первого деления N1 эманации натурального корня n на другую эманацию натурального корня k - Э1 можно записать в виде:

N1 = N + d(r - b), где r - номер эманации натурального корня k - Э1;

b - номер эманации натурального корня k - Э.

Например. При делении эманаций натурального корня 8 на эманации натурального корня 5 постоянная дельта d = 7.

а) если мы хотим узнать номер эманации первого деления на число 23 эманаций натурального корня числа 8, составим следующую формулу:

Nэ = 3 + 7(2 - 0), где 3 - номер эманации первого деления эманаций натурального корня 8 на натуральный корень 5 без остатка, 2 - Nэ числа 23, 0 - Nэ натурального корня 5.

Таким образом Nэ = 3 + 7(2 - 0) = 17.

Тогда, эманация натурального корня 8 с Nэ = 17 равна 161 = 17*9 + 8

Т.е., число 161 первым в эманационном ряду натурального корня 8 будет делиться на число 23:

161 : 23 = 7

И далее, по формуле деления эманаций натурального корня n на число у, мы можем выяснить все эманации числа 8, делящиеся без остатка на число 23.