47664 (Моделювання процесу обробки сигналів датчика у вихровому потоковимірювачі), страница 4

- амплітуда синусоїди 1.5 В (ефективне значення амплітуди);

- амплітуда синусоїди (ефективне значення) обиралася в залежності від відношення сигнал-шум та середньоквадратичного відхилення шуму;

- фільтра для частоти 500 Гц дорівнює 3,183 *10^-4;

- дискретизація фільтру дорівнює 8 по 0,0002 с, що забезпечує помилку меншу за 1 %.

Результати експерименту з використанням генератора псевдовипадкових чисел на СРОС можна побачити на рисунку 3.4.

Результати експерименту з використанням стандартного генератору псевдовипадкових чисел у MathCad2001 можна побачити на рисунку 3.5. Помітні розбіжності спостерігаються при співвідношенні 0,1.

3.2 Обчислювальні експерименти з урахування квадратичної залежності амплітуди від частоти

3.2.1 Фільтрація ковзкого згладжування

Як було вище сказано, у сигналі від реального датчика присутній квадратична залежність амплітуди сигналу від частоти. Обчислюється математичне очікування кількості нулів не за визначену кількість періодів, а за одиницю часу для суми синусоїдального сигналу й білого шуму з обмеженою смугою частот. У подальших експериментах використовується квадратична залежність і підрахунок перетинань на однаковій кількості перетинань.

Експеримент з використанням стандартного генератору псевдовипадкових чисел c нормальним розподілом у MathCad2001 був проведений з наступними параметрами:

максимальна амплітуда синусоїди 2048

- амплітуда синусоїди 1.5 В (ефективне значення амплітуди);

- амплітуда шуму (середньоквадратичне відхилення) обиралася в залежності від відношення сигнал-шум (відношення сигнал-шум дорівнює 1, коли 1В синусоїди на 500 Гц відповідає шум з амплітудою 1мВ) та діючого значення амплітуди шуму;

- фільтр ковзного згладжування з двома проходами, у першому проході вибірку здійснювали по n=8 елементи, а в другому по n =6.

Результати експерименту з використанням генератора псевдовипадкових чисел на СРОС можна побачити на рисунку 3.6.

Експеримент з використанням генератора псевдовипадкових чисел на СРОС був проведений з наступними параметрами:

- максимальна амплітуда шуму 2048

- амплітуда синусоїди 1.5 В (ефективне значення амплітуди);

- фільтр ковзного згладжування з двома проходами, у першому проході вибірку здійснювали по n=8 елементи, а в другому по n =6.

- амплітуда синусоїди (ефективне значення) обиралася в залежності від відношення сигнал-шум (відношення сигнал-шум дорівнює 1, коли 1В синусоїди на 500 Гц відповідає шум з амплітудою 1мВ); та середньоквадратичного відхилення шуму;

Результати експерименту з використанням стандартного генератору псевдовипадкових чисел c нормальним розподілом у MathCad2001 можна побачити на рисунку 3.7. Границя достовірних вимірів за умов використання генератору MathCad2001 у два рази зсунулася у бік високих частот до частоти 130 Гц.

3.2.2 Аперіодичний фільтр

Експеримент з використанням стандартного генератору псевдовипадкових чисел c нормальним розподілом у MathCad2001 був проведений з наступними параметрами:

- максимальна амплітуда синусоїди 2048

- амплітуда синусоїди 1.5 В (ефективне значення амплітуди);

- амплітуда шуму (середньоквадратичне відхилення) обиралася в залежності від відношення сигнал-шум та діючого значення амплітуди шуму;

- фільтра для частоти 500 Гц дорівнює 3,183 *10^-4;

- дискретизація фільтру дорівнює 8 по 0,0002 с, що забезпечує помилку меншу за 1 %.

Р езультати експерименту з використанням генератора псевдовипадкових чисел на СРОС можна побачити на рисунку 3.8.

Експеримент з використанням генератора псевдовипадкових чисел на СРОС був проведений з наступними параметрами:

- максимальна амплітуда шуму 2048

- амплітуда синусоїди 1.5 В (ефективне значення амплітуди);

- амплітуда синусоїди (ефективне значення) обиралася в залежності від відношення сигнал-шум та середньоквадратичного відхилення шуму;

- фільтра для частоти 500 Гц дорівнює 3,183 *10^-4;

- дискретизація фільтру дорівнює 8 по 0,0002 с, що забезпечує помилку меншу за 1 %.

Результати експерименту з використанням стандартного генератору псевдовипадкових чисел у MathCad2001 можна побачити на рисунку 3.7.

3.3 Результати експериментів

Характеристики, отримані аналітично й експериментально без врахування квадратичної залежності між частотою та амплітудою, мають спільні риси. Причому, є точка перетинання всіх кривих. Також були проведені розрахунки більш наближені до реальних датчиків з врахуванням квадратичної залежності амплітуди сигналу від частоти. Обчислювання математичного очікування кількості нулів відбувалося на певному часовому інтервалі так і за певну кількість періодів.

За умов використання фільтрації ковзного згладжування з параметрами, коли при фільтрації залишалися частоти до 600 – 700 Гц, тоді отримані графіки нагадували рис. 4 та рис. 5. При цьому на частоті 500 Гц коефіцієнт передачі падав до 0,2-0,3. Коли фільтрацію зробили після 1000 Гц, на 500 Гц коефіцієнт піднявся до 0,8 – 0,9, тоді отримані графіки стали відповідати отриманим аналітичним шляхом.

При використанні RC-фільтрації з параметром 500 Гц були отримані ті самі рисунок 3.4 та рисунок 3.5.

Такі результати експериментів пояснюються тим, що в теоретичних розрахунках Бендат [5] використовував ідеальний фільтр який має коефіцієнт передачі 1 на частотах, що проходять крізь фільтр і 0 – на тих що фільтруються. Звичайно таку фільтрацію за реальних умов забезпечити неможливо, тому можна спостерігати розбіжності з отриманими результатами експериментальним шляхом.

Експеримент з урахування квадратичної залежності амплітуди від частоти нічого несподіваного не показав. Було підтверджено що за умови збільшення процентної присутності шуму у сигналі межа зменшується з боку низьких частот. Визначили числові значення цих частот за різних співвідношень сигнал/шум.

За умов використання фільтрів, як і очікувалося відбувається збільшення області достовірних вимірів в залежності від співвідношення сигнал/шум.

Результати отримані за умов використання двох різних фільтрів загалом однакові, але з практичної точки зору RC-фільтр набагато простіше зробити. Тому рекомендується використовувати цей фільтр у практичних експериментах.

4 Визначення кількості перетинів корисного сигналу з нульовим рівнем за допомогою методики для квантованого у часі сигналУ

4.1 Визначення дискретної частоти за допомогою перетинів нульового значення

В даному розділі будуть наведені методи ті, що використовують ітеративні фільтраційні процедури для визначення частот сигналів, схованих у шумі компонент. Подана методика використовує параметричну фільтрацію для рекурсивного визначення частот дискретних спектральних компонент.

Визначення частоти – класична задача аналізу часових рядів. Майже сотні років періодограми широко застосовувалися для аналізу та визначення спектрів. Швидке перетворення Фур’є (FFT), що являє собою ефективний алгоритм для оцінки періодограм у частотах Фур’є, підтримує популярність цього важливого інструмента. Але на протязі більш ніж десяти останніх років багато авторів пропонували методи ітеративної фільтрації для визначення частот дискретних гармонік [8, 11-14].

Корисна математична модель, так саме, як і та, що ми використовуємо у цьому прикладі, це наступна суміш сигналів стаціонарного процесу,

, (4.1)

де, - дискретні значення часу;

А та В всі не корельовано, - математичне відхилення, та - дисперсія.

Взагалі, приймаємо - підкрашений стаціонарний шум з нульовим середнім значенням і дисперсією , незалежною від А та В. Шум, приймаємо, має абсолютно неперервну спектральну функцію зі спектральною щільністю , . Для нашої мети ми приймаємо, що {Z_t} – Гаусів процес. Але Гаусовість не є необхідною для параметричної фільтрації за методом Яковітца [16]. Також покажемо, що частота для нас є низка упорядкованих констант в межах (0, ) [15],

, (4.2)

Загальна задача це визначити частоти , використовуючи кінцеву довжину реалізації (спостереження) з часового ряду Z₁, Z₂, ...,Z_N.

Іншими словами, наша основна стратегія це фільтрувати спостереження Z₁, Z₂, ...,Z_N за допомогою фільтру з параметричного сімейства лінійних фільтрів, спостерігати статистику перетинів нуля виходу фільтру, а потім обирати інший фільтр (зміною параметра) з сімейства на базі статистики, що спостерігається. При деяких умовах ця ітеративна процедура сходиться і точне значення частоти може бути отримане.

4.2 Очікуване число перетинів нуля Гаусова процесу

Нижче подано формули для визначення очікуваної кількості перетинів нуля Гаусова процесу. Наведемо обидва випадки: безперервного та дискретного часу.

Якщо стаціонарний Гаусів процес {Z_t}, для , з нормалізованою автокореляційною функцією має дуже гладку форму, що середнє число перетинів нуля за одиницю часу, дорівнює за формолою Райса [4].

, (4.3)

де D – число перетинів нуля у реалізації {Z_t} для t у одиничному інтервалі [0, 1];

є друга похідна нормалізованої автокореляційної функції від {Z_t} у нулі.

Ялвісакер в 1965 довів формулу Райса строго при пом’якшуючих умовах і показав, що очікувана кількість перетинів нулів скінченна якщо, і тільки якщо, автокореляційна функція двічі може бути диференційована в точці .

Аналогічна формула для дискретного часу, для процесу з нульовим середнім, для стаціонарної Гаусової послідовності {Z_к}, була отримана багатьма авторами [7] і виглядає як:

, (4.4)

або, еквівалентно, в інверсній формі:

, (4.5)

де D₁ – число змін знаків або перетинів нуля у реалізаціях Z₁, ...,Z_N;

- кореляція послідовності {Z_к};

- очікувана число перетинів нуля при дискретному часі.

Ця формула (4.5) має назву – косинусна формула. Спостерігаємо, що через стаціонарність очікуване число перетинів нуля - не залежить від N. Взагалі повинен бути кореляцією, див. Кедем (1991). Оскільки лінійна фільтрація Гаусова процесу дає результат Гаусів процес, косинусна формула придатна для фільтрованого процесу, де кореляційний коефіцієнт і число перетинів нуля фільтрованого процесу використано у косинус ній формулі (4.5). Для точності, нехай буде вихід у момент t з лінійного з незмінними у часі параметрами фільтру L_a, що був застосований до процесу {Z_t}. Використовуючи косинусну формулу (4.5) і спектральне подання для стаціонарних процесів, коефіцієнти кореляції першого порядку фільтрованого процесу отримаємо вираз [15]:

, (4.6)