Untitled1 (Лекции по аналитической геометрии 1 семестр), страница 3

2013-08-16СтудИзба

Описание файла

Файл "Untitled1" внутри архива находится в папке "лекции". Документ из архива "Лекции по аналитической геометрии 1 семестр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .

Онлайн просмотр документа "Untitled1"

Текст 3 страницы из документа "Untitled1"

Рассмотрим еще несколько общих понятий, относящихся к СЛАУ.

Определение 2. СЛАУ называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение.

Если решений не существует, система называется несовместной.

Определение 3. СЛАУ, вектор правых частей которой равен нулю: = 0, называется

однородной. В противном случае система называется неоднородной.

Для однородных СЛАУ имеют место несколько общих утверждений.

Теорема 1. Однородная СЛАУ всегда совместна.

{Нулевой вектор всегда является решением однородной СЛАУ}

Теорема 2. Множество решений однородной СЛАУ образует линейное пространство.

{Пусть − решения системы , т.е. их линейная комбинация тоже решение. Выполнение аксиом − очевидно.}

Замечание. Пространство решений однородной СЛАУ является, очевидно, подпространством линейного пространства n – мерных векторов .

§9. Квадратные СЛАУ. Правило Крамера.

Рассмотрим вначале СЛАУ с квадратной матрицей А − число уравнений равно числу неизвестных:

Правило Крамера.

Обозначим определитель матрицы буквой d , а определители матриц, полученных из А заменой k – го столбца столбцом правых частей через dk .

Теорема (правило Крамера). Если определитель матрицы системы , то система имеет единственное решение, которое может быть получено по формулам:

{ – аналогично. Единственность − от противного.}

§10. Критерий совместности СЛАУ. Теорема Кронекера – Капелли.

Вернемся к общим СЛАУ . Введем еще одно понятие.

Определение. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных и столбца правых частей, называется расширенной матрицей системы: .

Теорема (Кронекера – Капелли). СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу исходной матрицы системы, т.е. .

{1. Система совместна. Правая часть есть линейная комбинация столбцов матрицы, коэффициенты которой равны координатам вектора решения. Т.е. .

2. . Следовательно, в качестве базисного минора расширенной матрицы можно взять базисный минор матрицы А. По теореме о базисном миноре (§4) правые части равны линейной комбинации базисных столбцов матрицы. В качестве решения можно взять коэффициенты этой линейной комбинации.}

§11. Общее решение СЛАУ.

Определение. Множество решений системы линейных алгебраических уравнений

называется общим решением этой системы. Т.е. любой вектор этого множества есть решение и любое решение этой системы принадлежит указанному множеству.

Из §8 следует, что общим решением однородной системы является некоторое подпространство пространства . Для неоднородной системы это не так: общее решение неоднородной системы не образует линейного пространства.

{Нулевой вектор (0,0,…,0) не является решением исходной системы.}

Итак, дана совместная система , матрица которой имеет ранг равный r. Для простоты будем считать, что базисный минор матрицы находится в левом верхнем углу (этого всегда можно добиться перестановкой строк и изменением нумерации неизвестных). Оставим первые r уравнений системы и перенесем неизвестные в правую часть. Если теперь дать этим неизвестным произвольные фиксированные значения, то по Т. Крамера полученная система будет иметь единственное решение (определитель системы = базисному минору ≠ 0). Это решение (вместе с ) является решением исходной системы, так как все строки расширенной матрицы (по критерию Кр. – К. ) есть линейные комбинации базисных.

Можно показать, что любое решение может быть получено таким же образом. Достаточно взять из предложенного решения и первые неизвестные определятся однозначно по теореме Крамера. Тем самым, указанный метод позволяет получить общее решение системы.

В общем случае базисного минора будем называть неизвестные, не входящие в базисный минор, свободными, а, входящие в него – зависимыми.

На практике матрицу системы сначала приводят к ступенчатому виду, затем выбирают базисный минор и , таким образом, зависимые и свободные неизвестные. При этом, желательно все преобразования производить только со строками, чтобы сохранить нумерацию неизвестных. После этого зависимые переменные выражают через свободные и записывают общее решение.

Рассмотрим на примере данный алгоритм и сделаем несколько общих выводов.

Пусть .

Последняя формула, вообще говоря, дает общее решение данной системы при произвольных значениях с3 и с4 . Более удобной является векторная форма записи:

.

Из этого примера можно вывести несколько важных общих закономерностей.

I. Ранг системы решений (S(x)) равен числу свободных неизвестных, т.е. rang(S(x)) = nr, где

n – количество неизвестных, а r – ранг матрицы системы (В примере: n = 4, r = 2, rang(S) = 2).

Обычно, свободные неизвестные для каждого из решений выбираются следующим образом

(для простоты будем считать зависимыми, а − свободными):

для решения

для решения

…………………………………………………

для решения

Легко видеть, что полученные решения 1) линейно независимы и 2) любое решение системы будет их линейной комбинацией.

II. Вектор является частным решением неоднородной системы при с3 = с4 = 0, а векторы линейно независимыми решениями соответствующей однородной системы уравнений. Совокупность линейных комбинаций векторов

описывает всю линейную оболочку решений однородной системы, т. е. − общее решение однородной системы уравнений.

III. Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы

и частного решения неоднородной:

10


Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5351
Авторов
на СтудИзбе
412
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее