Untitled1 (Лекции по аналитической геометрии 1 семестр), страница 3
Описание файла
Файл "Untitled1" внутри архива находится в папке "лекции". Документ из архива "Лекции по аналитической геометрии 1 семестр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "аналитическая геометрия" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Untitled1"
Текст 3 страницы из документа "Untitled1"
Рассмотрим еще несколько общих понятий, относящихся к СЛАУ.
Определение 2. СЛАУ называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение.
Если решений не существует, система называется несовместной.
Определение 3. СЛАУ, вектор правых частей которой равен нулю: 
= 0, называется
однородной. В противном случае система называется неоднородной.
Для однородных СЛАУ имеют место несколько общих утверждений.
Теорема 1. Однородная СЛАУ всегда совместна.
{Нулевой вектор всегда является решением однородной СЛАУ}
Теорема 2. Множество решений однородной СЛАУ образует линейное пространство.
{Пусть 
− решения системы 
, т.е. их линейная комбинация тоже решение. Выполнение аксиом − очевидно.}
Замечание. Пространство решений однородной СЛАУ является, очевидно, подпространством линейного пространства n – мерных векторов 
.
§9. Квадратные СЛАУ. Правило Крамера.
Рассмотрим вначале СЛАУ с квадратной матрицей А − число уравнений равно числу неизвестных: 
Правило Крамера.
Обозначим определитель матрицы буквой d , а определители матриц, полученных из А заменой k – го столбца столбцом правых частей через dk .
Теорема (правило Крамера). Если определитель матрицы системы 
, то система имеет единственное решение, которое может быть получено по формулам: 
{
– аналогично. Единственность − от противного.}
§10. Критерий совместности СЛАУ. Теорема Кронекера – Капелли.
Вернемся к общим СЛАУ 
. Введем еще одно понятие.
Определение. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных и столбца правых частей, называется расширенной матрицей системы: 
.
Теорема (Кронекера – Капелли). СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу исходной матрицы системы, т.е. 
.
{1. Система совместна. Правая часть есть линейная комбинация столбцов матрицы, коэффициенты которой равны координатам вектора решения. Т.е. .
2. . Следовательно, в качестве базисного минора расширенной матрицы можно взять базисный минор матрицы А. По теореме о базисном миноре (§4) правые части равны линейной комбинации базисных столбцов матрицы. В качестве решения можно взять коэффициенты этой линейной комбинации.}
§11. Общее решение СЛАУ.
Определение. Множество решений системы линейных алгебраических уравнений 
называется общим решением этой системы. Т.е. любой вектор этого множества есть решение и любое решение этой системы принадлежит указанному множеству.
Из §8 следует, что общим решением однородной системы является некоторое подпространство пространства . Для неоднородной системы это не так: общее решение неоднородной системы не образует линейного пространства.
{Нулевой вектор (0,0,…,0) не является решением исходной системы.}
Итак, дана совместная система , матрица которой имеет ранг равный r. Для простоты будем считать, что базисный минор матрицы находится в левом верхнем углу (этого всегда можно добиться перестановкой строк и изменением нумерации неизвестных). Оставим первые r уравнений системы и перенесем неизвестные 
в правую часть. Если теперь дать этим неизвестным произвольные фиксированные значения, то по Т. Крамера полученная система будет иметь единственное решение (определитель системы = базисному минору ≠ 0). Это решение (вместе с ) является решением исходной системы, так как все строки расширенной матрицы (по критерию Кр. – К. ) есть линейные комбинации базисных.
Можно показать, что любое решение может быть получено таким же образом. Достаточно взять из предложенного решения и первые неизвестные определятся однозначно по теореме Крамера. Тем самым, указанный метод позволяет получить общее решение системы.
В общем случае базисного минора будем называть неизвестные, не входящие в базисный минор, свободными, а, входящие в него – зависимыми.
На практике матрицу системы сначала приводят к ступенчатому виду, затем выбирают базисный минор и , таким образом, зависимые и свободные неизвестные. При этом, желательно все преобразования производить только со строками, чтобы сохранить нумерацию неизвестных. После этого зависимые переменные выражают через свободные и записывают общее решение.
Рассмотрим на примере данный алгоритм и сделаем несколько общих выводов.
Пусть 
.
Последняя формула, вообще говоря, дает общее решение данной системы при произвольных значениях с3 и с4 . Более удобной является векторная форма записи:
.
Из этого примера можно вывести несколько важных общих закономерностей.
I. Ранг системы решений (S(x)) равен числу свободных неизвестных, т.е. rang(S(x)) = n – r, где
n – количество неизвестных, а r – ранг матрицы системы (В примере: n = 4, r = 2, rang(S) = 2).
Обычно, свободные неизвестные для каждого из решений выбираются следующим образом
(для простоты будем считать 
зависимыми, а − свободными):
для решения 
для решения 
…………………………………………………
для решения 
Легко видеть, что полученные решения 1) линейно независимы и 2) любое решение системы будет их линейной комбинацией.
II. Вектор 
является частным решением неоднородной системы при с3 = с4 = 0, а векторы 
линейно независимыми решениями соответствующей однородной системы уравнений. Совокупность линейных комбинаций векторов 
описывает всю линейную оболочку решений однородной системы, т. е. − общее решение однородной системы уравнений.
III. Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы
и частного решения неоднородной:
10
