Untitled1 (Лекции по аналитической геометрии 1 семестр)

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Введение. Основные понятия и определения.

§1. Аксиоматика линейных пространств.

Определение. Линейным пространством L = {a,b,c,…} называется множество, относительно элементов которого определены операции сложения и умножения на число, причем результаты этих операций принадлежат этому же множеству (говорят, что L замкнуто относительно операций сложения и умножения на число): .

(Элементы линейных пространств также будем называть векторами)

Для эти операции удовлетворяют следующим условиям:

1. a + b = b + a (коммутативность сложения).

2. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).

3. .

4.

5. 1·а = а.

6.

7. (α + β)а = αа + βа (дистрибутивность).

8. α(а + b) = αa + αb (дистрибутивность).

Перечисленные свойства, обычно, называют аксиомами. Имеют место теоремы:

Теорема 1. Нулевой элемент – единственен.

{От противного: 0₁,0₂; 0₁+0₂=0₁ и 0₂+0₁=0₂ (акс. (3)). Из акс.(1) следует: 0₁=0₂}

Теорема 2. противоположный элемент – единственен.

{Пусть для }

Теорема 3. 0·а = 0.

{ }

Теорема 4.

{ }

Примеры.

§2. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.

Определение 1. Сумма называется линейной комбинацией элементов а₁, а₂,…,а_n с коэффициентами λ_k .

Определение 2. Система элементов линейного пространства {a₁,…,a_n} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ₁,…,λ_n не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.

Определение 3. Система элементов линейного пространства {a₁,…,a_n} называется линейно

независимой, если ее линейная комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами:

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). a₁,…,a_n – линейно зависима когда хотя бы один из элементов является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: {a_k} – л.з. ): . Пусть, для определенности, а₁ – линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: a_m – л.к.): }

Теорема 2. Если один из элементов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{ }

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{ }

Примеры.

1) 2)

3) {f₁ = 1, f₂ = x, f₃ = x² } – линейно независимы.

§3. Базис. Размерность. Координаты.

Определение 1. Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:

1) Система линейно независима.

2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов ):

Примеры. Базис на плоскости (V₂ – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V₃ – 3 некомпланарных вектора), в пространстве Rⁿ (канонический базис), в пространстве многочленов степени ≤ n − (1,х,х²,…,хⁿ).

Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.

{Пусть }

Определение 2. Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису.

(В силу Т.1 это определение корректно)

Будем писать: .

В дальнейшем, по умолчанию, будем считать вектор вектором – столбцом, в противном случае будем писать строку координат в явном виде: либо как

Теорема 2. При сложении векторов их координаты складываются:

{ }

Теорема 3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

λа = (λα₁,…,λα_n). { }

Определение 3. Размерностью линейного пространства L (обозначается dimL) называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.

Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.

Теорема 4. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов. {б/д}

Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Примеры. V₂ ; V₃ ; Rⁿ.

§4. Подпространства линейных пространств. Линейные оболочки.

Определение 1. Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество

элементов L, которое само является линейным пространством.

Т.е. подпространство замкнуто относительно операций сложения и умножения на число и содержит нулевой элемент. (Все аксиомы выполняются автоматически).

Примеры. , множество решений однородной СЛАУ.

Определение 2. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы. Обозначают: rang .

Определение 3. Линейной оболочкой системы элементов , принадлежащих L , называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов (иногда говорят линейная оболочка, натянутая на систему векторов): .

Непосредственно из определения следует, что любая линейная оболочка является линейным пространством, а любое линейное пространство – линейной оболочкой натянутой на какой-либо базис этого пространства.

Теорема 1. (Основное свойство линейных оболочек). Любой вектор системы , линейно зависящий от остальных, можно исключить без изменения линейной оболочки.

{Пусть, для определенности, а произвольный . Тогда

, т.е. }

Следствие. Размерность линейной оболочки равна рангу соответствующей системы элементов:

Глава 1. Теория матриц и системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

§1. Матрицы. Основные определения.

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Матрицу, состоящую из m строк и n столбцов, будем обозначать , а числа m и n называть ее размерами. Числа, составляющие матрицу, называют ее элементами. Элемент матрицы, стоящий в i−той строке и j−ом столбце обозначается (первый индекс – номер строки, второй – столбца). Таким образом:

Определение 2. Матрица, все элементы которой – нули, называется нулевой матрицей.

Определение 3. Две матрицы называются равными, если их размеры совпадают и все

соответственные элементы попарно равны: .

Определение 4. Матрица, все строки которой равны соответствующим столбцам матрицы А

(при этом, естественно, ее столбцы будут равны строкам А), называется транспонированной к А

и обозначается А^Т.

Из определения сразу следуют несколько элементарных свойств:

1. Если .

2. .

3. .

Определение 5. Матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (m = n)

называется квадратной и обозначается A_n .

Совокупность элементов квадратной матрицы называется главной диагональю.

Квадратная матрица, все элементы которой ниже (выше) главной диагонали равны нулю, называется верхней треугольной (нижней треугольной) матрицей.

Определение 6. Квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю ( ), называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица с единичными элементами называется единичной матрицей.

Единичную матрицу будем обозначать буквой Е: .

Определение 7. Квадратная матрица называется симметричной, если А^Т = А, т.е. a_ij = a_ji.

§2. Простейшие операции над матрицами и их свойства.

1. Сложение (вычитание) матриц.

Суммой (разностью) двух матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов слагаемых:

Из определения сразу следует, что складывать (вычитать) можно только матрицы одинаковой размерности.

1. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица, каждый элемент которой равен произведению элемента исходной матрицы на это число:

1. Произведение матриц.

Произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой c_ij равен сумме попарных произведений элементов i– ой строки матрицы А на элементы j – го столбца матрицы В:

Пример.

Замечания. 1) Умножать матрицы можно только в том случае, когда число строк правой матрицы равно числу столбцов левой. Отсюда следует, что при умножении не квадратных матриц, их нельзя менять местами по определению.

2) В случае умножения квадратных матриц, произведение, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей (т.е. произведение матриц не коммутативно).

3) Полезно заметить, что формула для вычисления элемента произведения совпадает с формулой вычисления скалярного произведения векторов в декартовой системе координат.

Определение. Если произведение двух квадратных матриц не зависит от порядка сомножителей

(т.е. АВ = ВА), то эти матрицы называются перестановочными между собой.

Свойства арифметических операций.

1. А +В = В + А

2. А + (В + С) = (А + В) + С

5. А(ВС) = (АВ)С

6. А(В +С) = АВ + АС

7. (А + В)С = АС + ВС

8. АЕ = ЕА = А

{Первые 4 свойства очевидны. Докажем одно из последующих, например, св – во 6:

}

Из двух первых операций (т.е. линейных операций) и их свойств (св. 1 – 4) следует, что матрицы одинаковой размерности образуют линейное пространство. Доказать самостоятельно, что dimL(A_mn) = m×n , приведя пример базиса этого пространства.

Свойства арифметических операций для транспонированных матриц.

1) . 2) . 3) . {Слева – строки А на столбцы В и транспонирование. Справа – столбцы В на строки А , т.е. уже транспонированная.}

§3. Определитель квадратной матрицы и его свойства.

Одной из важнейших характеристик квадратных матриц является ее определитель или детерминант: . Дадим рекуррентное определение этого понятия.

1. Определитель второго порядка равен:

2. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка свелось к вычислению трех определителей второго порядка. Каждый из них получается вычеркиванием строки и столбца, которые содержат элемент, стоящий перед этим определителем. Знаки перед слагаемыми вычисляются по формуле , где i и j − индексы этого элемента. Данная формула называется разложением определителя по первой строке. Определитель четвертого порядка выражается по этому же правилу через определители третьего порядка и так далее.