25139 (Характеристика различных способов тригонометрического нивелирования), страница 2

h'₁₂ = – (R+H₁) - l (1.15)

Для перехода к нормальному превышению необходимо ввести поправки за уклонение от отвесной линии Δh_u и за непараллельность уровенных поверхностей ΔЕ.

Δh_u = ξ₁ – ξ₂ , или Δh_u = (U₁₂ – Um₁₂)Dsin(z₁₂ + δz₁₂). Поправка ΔЕ вычисляется по формуле (1.10). Таким образом окончательная формула одностороннего тригонометрического нивелирования примет вид:

h'₁₂= –(R+H₁)–l+(U₁₂–Um₁₂)Dsin(z₁₂+δz₁₂) +ΔЕ₁₂ (1.16)

Примем i₂ = l₂. Переход к разности нормальных высот осуществляется с помощью поправок Δhu и ΔЕ. Окончательная формула двухстороннего тригонометрического нивелирования по измеренным наклонным расстояниям содержит еще один измеренный элемент z₁₂ и имеет вид:

h₁₂=+i₁–i₂+ΔЕ₁₂+Dcos (1.17)

В этих формулах принято что высоты теодолита, дальномера и визирной цели в точке 1 равны между собой, а в точке 2 аналогичное равенство наблюдается для теодолита, отражателя и визирной цели. В практике геодезических работ это условие не соблюдается. Кроме того измеренное наклонное расстояние, после введения поправок за центровку дальномера и редукцию отражателя принимается равным расстоянию между центрами знаков. Это действительно имеет место при z = 90° и больших длинах измеряемых сторон. Однако с увеличением углов наклона и использованием высоких сигналов измерения длина линии, исправленная поправками за центровку дальномера и редукцию отражателя, не будет равна расстоянию между центрами знаков.

Рассмотрим способ тригонометрического нивелирования через промежуточную точку. Иногда этот способ называют еще тригонометрическим нивелированием из середины. Этот способ аналогичен одностороннему тригонометрическому нивелированию и предполагает значительное ослабление рефракционных воздействий, если считать справедливой вторую рефракционную гипотезу.

Рассмотрим рис. 1.3, обозначения на котором полностью соответствуют ранее принятым на рис. 1.2.

Требуется по измеренным в точке 1 зенитным расстояниям определить превышение между точками 2 и 3.

Превышения между точками 1, 2 и 1, 3 в системе нормальных высот при использовании горизонтальных проложений определяется по формуле (1.8). Обозначим

S₁₃ = S₁₂ + ΔS (1.18)

Вычислив разность превышений между указанными точками, найдем:

h₃₂ = S₁₂(ctg(z₁₂ + δz₁₂) – ctg(z₁₃ + δz₁₃)) + (H₂ctg(z₁₂ + δz₁₂) – H₃ctg(z₁₃ + δz₁₃)) – ΔS ctg(z₁₃ + δz₁₃) – + + l₁ – l₂ + S₁₂(U₁₂–U₁₃+Um₁₃–Um₁₂) – ΔS(U₁₃–Um₁₃) + ΔE₁₂ – ΔE₁₃ (1.19)

Формула тригонометрического нивелирования через точку с использованием непосредственно измеренных наклонных расстояний выводится аналогично с условием, что

D₁₃ = D₁₂ + ΔD (1.20)

h₃₂ =  – ‑  + + D₁₂(sin(z₁₂+δz₁₂)(U₁₂–Um₁₂) - sin(z₁₃+δz₁₃)(U₁₃–Um₁₃)) + ΔD(U₁₃–Um₁₃) sin(z₁₃+δz₁₃) + + ΔE₁₂  – ΔE₁₃ + l₃ – l₂ (1.21)

При соблюдении равноплечья члены, содержащие ΔS и ΔD обращаются в ноль, формула существенно упрощается.

Сравнив формулы способов тригонометрического нивелирования можно сделать вывод, что способ двухстороннего нивелирования по измеренным наклонным расстояниям содержит минимальное количество величин, необходимых для вычисления превышений. Раньше, с точки зрения производственного применения способ двухстороннего тригонометрического нивелирования являлся более предпочтительным.

Однако с использованием ЭВМ для вычисления предпочтение можно отдать способу тригонометрического нивелирования через точку.

1. Погрешности тригонометрического нивелирования в зависимости от точности измеренных расстояний

Для подсчета суммарных величин погрешностей превышений для способов тригонометрического нивелирования воспользуемся формулой вычисления средней квадратической ошибки:⁴

(1.22)

Полные формулы погрешностей превышений для способов тригонометрического нивелирования получим из формул (1.8), (1.9), (1.16), (1.17), (1.19), (1.21).

Для одностороннего тригонометрического нивелирования по горизонтальным проложениям имеем:

m_h² = m_s² + m_H² + m_R² + (m²_Z12 + m²_δZ12) + S₁₂²(m²_U12 + m²_Um12) + m²_ΔE12 + m²_i + m²_l (1.23)

Для одностороннего тригонометрического нивелирования по непосредственно измеренным наклонным расстояниям:

m_h² = m_D²+ +·(m_R²+m_H²)+ +(m_R²+m_H²)+ +m_i²+(D₁₂sin(z₁₂+δz₁₂))²(m+m)+ +m+ m (1.24)

Формула полной погрешности превышения для двухстороннего тригонометрического нивелирования по горизонтальным проложениям имеет вид:

m=m+ 2 m + +m+2+ +2 m +Sm+ m+2+2 (1.25)

Аналогично формулу полной погрешности превышения для двухстороннего тригонометрического нивелирования по наклонным расстояниям можно получить подставив в формулу (1.22) (1.17)

Формулу полной погрешности тригонометрического нивелирования через точку по горизонтальным проложениям получим подставив (1.19) в (1.22).

Формула полной погрешности тригонометрического нивелирования через точку при использовании непосредственно измеренных наклонных расстояний выводится путем подстановки (1.21) в (1.22).

Сравнение величин предвычисленных средних квадратических ошибок определения превышений различными способами тригонометрического нивелирования в зависимости от отдельных источников ошибок выполним применительно к принятому подразделению рельефа местности на следующие районы (см. табл. 1.1.):

Плоскоравнинные 89° ≤ z ≤ 91°

Всхолмленные 86° ≤ z ≤ 94°

Горные 80° ≤ z ≤100°

Особые случаи 60° ≤ z ≤120°

К особым случаям относятся построения геодезического обоснования таких сооружений как фуникулеры, подъемники, канатные дороги, когда допускается включать в сеть стороны с зенитными расстояниями от 60° до 120°.

Для сопоставления точностей различных способов тригонометрического нивелирования все расчеты выполним для конкретных величин горизонтальных проложений равных 0,2, 0,6, 1,0, 1,5 2,0, 2,5, 3,0км.

Значения каждого из указанных горизонтальных проложений остаются неизменными для предельных зенитных расстояний, характеризующих район работы.

В расчетах участвуют указанные величины горизонтальных проложений и соответствующие им непосредственно измеренные наклонные расстояния, величины которых предвычисляются по формуле: D=S·cosecZ.

Для этого расчета принимается относительная ошибка определения горизонтальных проложений не более 1/50000, а погрешность непосредственного измерения длин линий от 0,1 до 6 км ± 10 мм.

Таблица 1.1. Величины средних квадратических ошибок превышений в зависимости от точности определения расстояний для различных способов тригонометрического нивелирования

* 1 – способ одностороннего тригонометрического нивелирования; 2 –двухстороннего; 3 – через точку.

Для тригонометрического нивелирования через точку принимается:

= ≤ (1.26)

В этом случае средняя квадратическая ошибка определения неравноплечья, при использовании непосредственно измеренных наклонных расстояний определится: