183819 (Экономико-математическое моделирование производства)

1. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Решение:

Введем обозначения:

Х1 – количество корма 1 вида;

Х2 – количество корма 2 вида.

Целевая функция – F = 0,2 х1 + 0,3 х2

Ограничения: 2х1+1х2≥6

2х1+4х2≥12

х1, х2≥0

Решим задачу графическим способом

Первое ограничение имеет вид 2х1+1х2≥6, найдем пересечение с осями координат

Второе ограничение 2х1+4х2≥12, найдем пересечения с осями координат

Для определения направления движения к оптиму построим вектор – градиента Їс (с₁;с₂), координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с (0,2;0,3).

Этот вектор показывает направление наискорейшее изменение функции.

Прямая f(х) = 0,2х1 + 0,3х2 = а1, перпендикулярная вектору – градиенту, является линией уровня целевой функции.

Для нахождения координат точки максимума решаем систему

2х1 + х2 = 6

2 х1 + 4х2 =12

-3х2 = -6

х 2 = 2

2х1+2=6

2х1 =4

х 1 =2

Ответ: (2;2)

Fmin = 0,2*2+0,3*2=0,4+0,6=1

График:

Ответ: чтобы затраты были минимальными необходимо расходовать 2ед. первого корма и 2 ед. второго корма.

Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+∞

2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теории двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• Проанализировать использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• Определить, как изменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья 2 и 3 видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья 1 вида;

• Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которой расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

1. Сформулируем экономико – математическую модель задачи.

Переменные:

х₁- количество единиц продукции А,

х₂- количество единиц продукции Б,

х₃- количество единиц продукции В,

х₄- количество единиц продукции Г.

Целевая функция: F=9х₁+6х₂+4х₃+7х₄ →max,

Цель максимизировать выручку от реализации готовой продукции

Ограничение:

П о 1 типу ресурса: 1х₁+0х₂+2х₃+1х₄≤180,

По 2 типу ресурса: 0х₁+1х₂+3х₃+2х₄≤210,

По 3 типу ресурса: 4х₁+2х₂+0х₃+4х₄≤800,

По смыслу х₁;х₂;х₃;х₄ ≥0.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск Решения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.

Полученное решение означает, что максимальную выручку 2115 ден. ед., можем получит при выпуски 95 ед. продукции А и 210 ед. продукции Б. При этом ресурсы 2 и 3 типа будут использоваться полностью, а из 180 ед. сырья 1 типа будет использоваться 95 ед. сырья.

Сформулируем экономико–математическую модель двойственной задачи

Переменные:

у1- двойственная оценка ресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,

у2- двойственная оценка ресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,

у3- двойственная оценка ресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.

Целевая функция двойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b₁*y₁+b₂*y₂+…→min

G=180у₁+210у₂+800у₃→min

В исходной задачи четыре переменных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.

п о виду продукции А: 1у₁+0у₂+4у₃≥9,

по виду продукции Б: 0у₁+1у₂+2у₃≥6,

по виду продукции В: 2у₁+3у₂+0у₃≥4,

по виду продукции Г: 1у₁+2у₂+4у₃≥7

по смыслу у₁; у₂; у₃≥0

2. Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности:

По 2 теореме- y_i*(∑a_ij*x_j-b_i)=0

у₁*(1х1+0х2+2х3+1х4-180)=0

у2*(0х1+1х2+3х3+2х4-210)=0

у3(4х1+2х2+0х3+4х4-800)=0

Если х=(95;210;0;0), то

у1(95-180)=0, т.к. 95у1=0

у2(210-210)=0

у3(4*95+2*210-800)=0

х_j(∑a_ij*у_i-c_j)=0, если х_j>0, то ∑a_ijу_i=c_j

х 1=95>0=> у1+4у3=9 у3=9/4=2,25

х2=210=> у2+2у3=6 у2=6-2*9/4=1,5

у1=0 у1=0

Результат: Оптимальный план у=(0;1,5;2,25)

F(х)=2115

G(y)=180*0+210*1,5+800*2,25=315+1800=2115=>первая теорема о двойственности f(х)=g(у) выполняется.

3. Поясним нулевые значения переменных х_i в оптимальном плане.

Если ∑ a_ijу_i>с_j, то х_j=0

У нас х3=0,х4=0=>затраты на изделия В и Г превышают цену (См. отчет по устойчивости в столбце нормируемая стоимость).

4. а) Анализ использования ресурсов в оптимальном плане

Если у_i>0, то ∑ a_ijx_j = b_i, i=1,….,m,

Если ∑ a_ijx_j < b , то у_i =0, i=1,….,m.

У2=1,5; у3=2,25=>сырье 2 и 3 полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживают рост целевой функции.

Сырье 1 используется не полностью 95 из 180 это сырье не влияет на план выпуска продукции, т.е. не ограничивает рост целевой функции, общая стоимость используемых ресурсов g (0;1,5;2,25)=2115.

б) Если запасы сырья изменить 1-120, 2-330, 3-920, то выручка составит 2565 при оптимальном плане (65;330;0;0), остаток сырья 1 типа составит 120-65=55.

в) Если включить в план изделие Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по 2 единицы каждого сырья, то выручка составит 2268 при оптимальном плане (112;142;0;0;34), при этом сырье будет полностью израсходовано.

3. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителями, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции У.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Таблица матричного баланса

Используем соотношение Х=(Е-А)’*У, полученное в соответствие модели Леонтьева для определения валового выпуска для этого найдем: (Е-А)’ – матрицу полных затрат (Е – единичная матрица),

Найдем обратную матрицу (Е-А)’ используя функцию в Excel (fx/математическая/МоБР),

Н айдем величины валовой продукции, используя в Excel (fx/математическая/МУМНОЖ

Рассчитаем величины производственных затрат по формуле