183676 (Теория вероятностей)

Задание 1

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен равна 0,7; второй – 0,95; третий – 0,45. Вычислить вероятность того, что студент сдаст:

а) один экзамен;

б) ни одного экзамена;

в) хотя бы два экзамена.

Решение:

а) Введем обозначения:

событие А – «студент сдаст только один экзамен»;

событие А₁ - «студент сдаст 1-ый экзамен»

событие А₂ - «студент сдаст 2-ой экзамен»

событие А₃ - «студент сдаст 3-ий экзамен»

В соответствии с условием задачи:

Р(А₁)=0,7 Р(А₂)=0,95 Р(А₃)=0,45

Тогда противоположные события, т.е. события «студент не сдаст i-ый экзамен» , имеют вероятности, соответственно:

, ,

Событие А можно представить в виде:

Указанные слагаемые представляют собой несовместные события, поэтому по теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

.

Так как события независимые, то, применяя теорему умножения вероятностей независимых событий, имеем:

Таким образом, вероятность того, что студент сдаст только один экзамен, равна

б) Введем обозначения:

событие В – «студент не сдаст ни одного экзамена»;

Таким образом, вероятность того, что студент не сдаст ни одного экзамена, равна

в) Введем обозначения:

событие С – «студент сдаст хотя бы два экзамена»,

Так как в результате данного испытания могут появиться три события: , то появление хотя бы двух из них означает наступление либо двух, либо трех событий.

Следовательно, применяя теорему появления независимых событий, имеем:

Таким образом, вероятность того, что студент сдаст хотя бы два экзамена, равна

Ответ: ; ;

Задание 2

На фабрике производятся швейные изделия. Вероятность появления брака равна 0,10. Была введена упрощенная сиситема контроля изделий, состоящая из двух независимых проверок. В результате k-ой проверки (k=1, 2) изделие удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью, , а бракованное изделие принимается с вероятностью . Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найти вероятности событий:

а) бракованное изделие будет принято;

б) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано;

в) случайно взятое на проверку швейное изделие будет отбраковано;

г) отбракованное изделие удовлетворяет стандарту;

д) из 5 изделий, взятых на проверку, 1 изделие будет удовлетворять стандарту.

; ; ;

Решение:

Пусть А – событие, состоящее в том, что изделие удовлетворяет стандарту, - изделие не удовлетворяет стандарту, - изделие принимается при k-ой проверке; - изделие бракуется при k-ой проверке.

а) определим вероятность того, что бракованное изделие будет принято. Так как заранее известно, что изделие с браком, то вероятность события не учитывается. Чтобы это изделие было принято, должно произойти событие , т.е. бракованное изделие принимается полсе обеих проверок. Вероятность этого события равна:

б) найдем вероятность того, что изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано. Здесь известно по условию, что оно уже удовлетворяет стандарту. Значит соответствующее событие будет равно сумме двух событий: 1 – изделие отбраковано при первой проверке ; 2 – изделие было принято при первой проверке, но отбраковано при второй: . Знаяит вероятность будет равна:

в) пусть С – событие, состоящее в том, что случайно взятое изделие на проверку будет отбраковано. Изначально нам не известно, какое изделие идет на проверку.

Возможны две гипотезы:

Н₁ – на проверку идет изхделие, удовлетворяющее стандарту;

Н₂ – на проверку идет бракованное изделие.

По условию,

Р(Н₁)=1-р=1-0,10=0,90

Р(Н₂)=р=0,10

Вероятность искомого события найдем по формуле полной вероятности. Если событие может произойти лишь при условии наступления какого-либо из несовместных событий-гипотез, образующих полную группу (т.е. какое-то одно из них обязательно наступает), то его вероятность равна сумме произведений вероятностей этих гипотез на условные вероятности искомого события при условии, что соответствующие гипотезы произошли. Таким образом, при двух гипотезах

Р(С)=Р(Н₁)Р(С/Н₁)+Р(Н₂)Р(С/Н₂)

Р(С/Н₁)=р₂=0,0592

Р(С/Н₂)=1-р₁=1-0,000006=0,999994

Следовательно,

Р(С)=0,90*0,0592+0,1*0,999994=0,05328+0,0999994=0,1532794

г) Отбракованное изделие удовлетворяет стандарту. Следовательно произошла гипотеза Н₁, при условии что наступило событие С. Вероятность этого события найдем по формуле Байеса, которая служит для переоценки вероятностей гипотез после того, как стало известно, что основное событие произошло. Таким образом,

д) Найдем вероятность р₃ того, что одно случайно взятое на проверку изделие удовлетворяет стандарту. Это событие противоположно событию С. Значит, р₃=1-Р(С)=1-0,1532794=0,8467206

Для нахождения вероятности тог, что из 5 изделий, взятых на проверку, только одно будет удовлетворять стандарту, воспользуемся формулой Бернулли. .

Ответ: а) ;

б) ;

в) Р(С)=0,1532794;

г) ;

д)

Задание 3

Вероятность появления события в каждом из n=112 независимых испытаний постоянна и равна р=0,1. Найти вероятность того, что событие наступит не мене 10 и не более 14 раз.

Решение:

Вероятность того, что из n=112 испытаний, событие А - появится от m₁=10 до m₂=14, вычислим по формуле:

Где

По условию вероятность появления события, равна р=0,1.

Значит q=1-0,1=0,9

Согласно условию,

Значит,

Таким образом, вероятность наступления событии от 10 до 14 раз, равна

Ответ: вероятность наступления событии от 10 до 14 раз, равна

Задание 4

СВ Х задана функцией распределение F(х). Найти:

а) плотность распределения вероятностей;

б) математическое ожидание и дисперсию СВ Х;

в) построить графики функций F(x) и f(x)

Решение:

1) Плотность распределения вероятности

2) Вычислим числовые характеристики случайной величины Х:

Математическое ожидание М(Х) = ,

Дисперсия D(X)=

Cреднее квадратическое отклонение (Х)=

3) Построим графики функций F( ) и p( ).

Ответ: 1)

2) М(Х)=1, D(X)= , =

Задание 5

Детали, выпускаемые цехом, по размерам распределяются по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание а=8 см, дисперсия .

Определить:

1. вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры от до ;

2. в каких границах следует ожидать размер диаметра, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна р=0,9934.

Решение:

1. Для вычисления вероятности того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры от до , воспользуемся формулой, по которой найдем вероятность попадания нормальной СВ Х в интервал :

где Ф(х) - функция Лапласа.

Значит вероятность равна:

По таблице значений функции Лапласа находим: , .

Значит,

1. Рассмотрим событие , где . Будем считать, что вероятность этого события равна р=0,9934:

По условию известно, что а=8 и .

Так как

Значит, по таблице значений функции Лапласа находим, что . Следовательно, .

Из неравенства , получаем

Значит, с вероятностью 0,9934 следует ожидать, что контролируемый размер детали будет заключен в границах от 7,7824 см до 8,2176 см.

Задание 6

В результате статистических наблюдений некоторой совокупности относительно количественного признака Х были получены данные, записанные в виде статистического ряда.

Требуется:

1. составить дискретный или интервальный ряд распределения частот и относительных частот СВ Х и построить полигон или гистограмму частот;

2. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины и построить ее график.

3. Вычислить числовые характеристики данного эмпирического распределения: среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

4. выдвинуть гипотезу о виде распределения рассматриваемой СВ Х. Обосновать выбор вида распределения. Написать аналитическое выражение функции плотности для выбранного распределения, найти теоретические частоты и теоретическую интегральную функцию распределения.

5. приняв уровень значимости 0,05 или 0,01, по критерию согласия Пирсона проверить гипотезу о виде распределения;

6. для подтвердившегося нормального распределения найти вероятность попадания признака в интервал

Решение: