183426 (Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ

Вариант №2

Брянск - 2009

ЗАДАЧА 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

Решение. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим виды кормов через х₁ и х₂. Целевой функцией задачи является общая стоимость кормов, затраченных на кормление животных, которая должна быть наименьшей. Число ограничений задачи равно числу питательных веществ, входящих в состав кормов - 2. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены кормов, содержание питательных веществ в них можно сформулировать математическую модель задачи линейного программирования:

Строим область допустимых решений задачи (см. рис.1).

Область допустимых решений задачи

Строим вектор-градиент целевой функции задачи. За его начало принимаем точку с координатами, равными коэффициентам целевой функции по соответствующим координатным осям 0,2 (1; 1,5), тогда концом вектора-градиента будет являться точка с координатами (0; 0). Перпендикулярно вектору-градиенту строится прямая, которая характеризует поведение целевой функции:

Д ля определения положения точки минимума целевой функции прямая, перпендикулярная вектору-градиенту, смещается в его направлении до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка области допустимых решений при этом движении и является точкой минимума.

В нашей задаче - это точка В, образованная пересечением граничных прямых ограничений I и II. Ее координаты определяются решением системы

уравнений этих прямых:

откуда x₁*=2; x₂*=2 и .

Таким образом, чтобы достичь минимальных затрат, следует расходовать ежедневно на одного животного по 2 кг каждого вида корма при затратах в 1 тыс. руб.

Решение данной задачи линейного программирования на максимум лишено экономического смысла, так как затраты на корм стремятся уменьшить. Однако математически эта задача имеет решение и на максимум: наибольшее значение в области допустимых решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно

.

рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования

ЗАДАЧА 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;

• оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение. 1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования.

Обозначим количество выпускаемых изделий х₁, х₂, х₃, х₄.

Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий - 3.

Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных.

Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:

Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения » табличного процессора EXCEL (меню «Сервис »):

рис. 2 - Надстройка «Поиск решения»

Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(95; 210; 0; 0). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f(X*)=2115 (прил. 1).

Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x₁*=95 изделий А, x₂*=210 изделий Б и не производить изделия В (x₃*=0) и Г (х₄*=0).

2. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III как y₁, y₂, y₃ соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи - 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

При решении исходной задачи с помощью EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости » (прил. 2) приводятся теневые цены ресурсов: y₁*=0; y₂*=1,5; y₃*=2,25.

Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи

совпадает с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f(X*). Следовательно, оптимальный план двойственной задачи определен верно.

3. Выпуск изделий В и Г невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что затраты по ним превышают цену на 0,5 и 5 соответственно:

Таким образом, выпуск изделий В и Г убыточен и поэтому эти изделия не вошли в оптимальный план (x₃*=0) и (х₄*=0).

4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(95; 210; 0; 0) и проверим выполнение неравенств:

Видно, что ресурсы II и III используются в оптимальном плане полностью и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Они имеют отличные от нуля оценки y₂*=1,5 и y₃*=2,25.

Увеличение объема ресурса II на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 1,5 руб., а увеличение объема ресурса III на единицу - на 2,25 руб.

Ресурс I имеет нулевую двойственную оценку (y₁*=0) и является недефицитными, т. е. избыточным в оптимальном плане. Увеличение объемов этого ресурса не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.

Определим, насколько изменится выручка выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости » видно, что эти изменения происходят в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение » и «Допустимое уменьшение » правых частей ограничений в прил. 2), что дает возможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:

При этом «новая» наибольшая выручка составит:

руб.

Изменение запасов ресурсов привело не только к изменению значения целевой функции на 540 тыс. руб., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась: изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на сырье не изменялись. Новый план выпуска составляет 75 единиц изделий А и 330 ед. изделий Б.

Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия Д с заданными характеристиками, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации:

Следовательно, продукцию Д выпускать выгодно, так как затраты на нее меньше, чем ее стоимость.

ЗАДАЧА 3

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:

Требуется: