183426 (584606), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания = 0,4 и = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.

4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение. 1. Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для каждого уровня временного ряда рассчитывается статистика

,

где - стандартное отклонение уровней ряда.

Стандартное отклонение определяется с помощью встроенной функции EXCEL «СТАНДОТКЛОН»: S_y=7,29 млн. руб. Расчет значений _t для всех уровней ряда, начиная со второго. Табличное значение критерия Ирвина для уровня значимости =0,05 и длины временного ряда n=9 составляет =1,5. Видно, что ни одно из значений _t не превышает критического значения, что свидетельствует об отсутствии аномальных наблюдений.

2. Линейную трендовую модель строим с помощью надстройки EXCEL «Анализ данных… Регрессия »:

Уравнение линейного тренда имеет вид (см. «Коэффициенты »):

.

Угловой коэффициент показывает, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании за одну неделю возрастает в среднем на 2,58 млн. руб.

Коэффициент детерминации уравнения R²0,941 превышает критическое значение для =0,05 и n=9, что свидетельствует о статистической значимости линейной модели и наличии устойчивого линейного тренда во временном ряду. Само значение R² показывает, что изменение спроса во времени на 94,1 % описывается линейной моделью.

3. Построение адаптивной модели Брауна. Модель Брауна строится в несколько этапов.

1) По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а₀ и а₁ линейной модели

.

Получаем начальные значения параметров модели Брауна и , которые соответствуют моменту времени t=0 (определены с помощью функций EXCEL «ОТРЕЗОК » и «НАКЛОН » соответственно.

2) Находим прогноз на первый шаг (t=1):

.

3) Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического:

.

4) Скорректируем параметры модели для параметра сглаживания =0,4 по формулам:

;

,

где - коэффициент дисконтирования данных, отражающий степень доверия к более поздним наблюдениям; - параметр сглаживания (=); - отклонение (остаточная компонента).

По условию =0,4, следовательно значение равно:

.

Получим:

;

,

5) По модели со скорректированными параметрами a_0(t) и a_1(t) находим прогноз на следующий момент времени:

.

Для t=2:

.

6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда.

7) Вычислим среднюю относительную ошибку для данного параметра сглаживания:

8) Корректировка параметров модели для =0,7 и =0,3:

;

9) Средняя относительная ошибка для данного параметра:

Таким образом, судя по средней относительной ошибке при =0,4 и =0,7, в первом случае =4,1%, а во втором случае =5,0%. Следовательно, =0,4 – лучшее значение параметра сглаживания, т.к. средняя относительная ошибка меньше.

4. Оценим адекватность линейной модели. Рассчитанные по модели значения спроса , остатки и их график были получены в EXCEL одновременно с построением модели (см. «ВЫВОД ОСТАТКА » в прил. 4).

Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек. В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p=4.

Критическое число поворотных точек для =0,05 и n=9 определяется по формуле

Так как , остатки признаются случайными.

Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина–Уотсона (отсутствие автокорреляции). Для расчета d‑статистики используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

d‑статистика имеет значение (см. прил. 4):

;

;

Критические значения d‑статистики для =0,05 и n=9 составляют: d₁=0,82; d₂=1,32. Так как выполняется условие

,

то нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод о выполнении свойства независимости. Проверим независимость остатков по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил. 4):

.

Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

Критическое значение коэффициента автокорреляции для =0,05 и n=9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это указывает на отсутствие автокорреляции в ряде динамики. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверим равенство нулю математического ожидания уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равно нулю: (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ »; см. прил. 4). Поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле

,

где e_max; e_min - наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС » и «МИН »); - стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН »; см. прил. 4).

Критические границы R/S-критерия для =0,05 и n=9 имеют значения: (R/S)₁=2,7 и (R/S)₂=3,7. Так как R/S-критерий попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим нормальному закону распределения вероятностей. Модель по этому критерию адекватна.

Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.

Оценим адекватность построенной модели Брауна: с параметром сглаживания (см. таблица 2):

Таблица 2 - Анализ ряда остатков модели Брауна

5. Оценим точность линейной модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:

%

Значение E_отн показывает, что предсказанные моделью значения спроса на кредитные ресурсы отличаются от фактических значений в среднем на 2,57 %. Модель имеет хорошую точность.

Оценим точность модели Брауна с параметром сглаживания :

Модель Брауна также имеет хорошую точность, однако она несколько ниже, чем у линейной трендовой модели.

6. Строим точечный и интервальный прогнозы спроса на 1 и 2 недели вперед для линейной модели:

Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):

1) Точечный прогноз :

млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение спроса равно 64,5 млн. руб.

2) Интервальный прогноз

с надежностью (доверительной вероятностью) =0,7. необходимые расчеты приведены в таблице 3:

млн. руб.,

где t_таб=1,083 - табличное значение t-критерия Стьюдента для доверительной вероятности =0,7.

С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 62,13 до 66,87 млн. руб.

Таблица 3

		t		yt
	1		43		16
		2		47		9
		3		50		4
		4		48		1
		5		54		0
		6		57		1
		7		61		4
		8		59		9
		9		65		16
Среднее		5		-		60

Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):

1) Точечный прогноз:

млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение спроса равно 66,8 млн. руб.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)