181119 (Линейная регрессия), страница 3

Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,91 + 0,39X

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ=10^{0,91 ·} x^0,39

ŷ =8,13 · x^0,39.

График 4

• Показательная

Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a · b^x

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + x lg b

Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; B = lg b

Тогда уравнение примет вид: Y = A + Bx - линейное уравнение регрессии.

Данные, необходимы для нахождения параметров, приведены в таблице 9.

Таблица 9

Значение параметров А и B линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 1,115 + 0,016x.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ =10^1,115·(10^0,016)^x;

ŷ =13,03·1,038^x.

График 5

1. Для указанных моделей найти: R² – коэффициент детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации А.

для всех моделей = 264,9 (см. таблицу 5).

• Степенная модель (см. таблицу 8):

;

;

• Показательная модель (см.таблицу 9):

;

;

• Гиперболическая модель (см. таблицу 7):

.

Таблица 10

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов. Чем ближе R² к 1, тем выше качество модели.

Чем выше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.

При сравнении гиперболической, степенной и показательной моделей по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R² и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель, следовательно, ее можно считать лучшей.

Задача 2

Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Таблица 1

Решение

2а) , тогда система уравнений будет иметь вид:

Модель имеет 3 эндогенные (y₁, y₂, y₃) и 4 экзогенные (x₁, x₂, x₃, x₄) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.

1 уравнение: y₁= b₁₂y₂+b₁₃y₃+a₁₂x₂+a₁₃x₃;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_1, y_2, y₃; H=3

Отсутствующие экзогенные переменные: х_1, х₄; D=2

2+1=3 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют х_1, х₄. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:

Таблица 2

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

1-ое уравнение идентифицируемо.

2 уравнение: y₂= b₂₃ y₃+a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₄x₄ ;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_2, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₃; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y_1, х₃. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения: