180808 (Анализ данных в линейной регрессионной модели)

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный институт электронной технки

(технический универститет)»

Курсовая работа

по дисциплине

«Теория вероятности и математическая статистика»

Тема работы

«Анализ данных в линейной регрессионной модели»

Выполнил:

Студент группы ЭКТ-21

Рыжов С.А.

Проверил:

Преподаватель

Бардушкина И. В.

Москва - 2010

Вариант 20.

Задание 1

Выполнить предварительную обработку результатов наблюдений, включающую:

1. построение диаграммы рассеивания (корреляционного поля);

2. группировку данных и построение корреляционной таблицы;

3. оценку числовых характеристик для негруппированных и группированных данных.

Оценка числовых характеристик для негруппированных данных:

Числовые характеристики для негруппированной выборки находятся по следующим формулам:

, ;

;

;

;

;

Построение корреляционного поля:

Построение корреляционной таблицы:

Таблица 1.1

Оценка числовых характеристик для группированных данных:

, ;

, ;

;

;

, ;

;

;

= - 0.87

Задание 2

Для негруппированных данных проверить гипотезу об отсуствии линейной статистической связи между компонентами X и Y при альтернативной гипотезе ( уровень значимости α = 0,05);

Выборочное значение статистики равно

,

Используя средства Matlab, найдем

Так как выборочное значение статистики больше квантили распределения Стьюдента, гипотеза H₀ отклоняется в сторону гипотезы H₁. Корреляция значима.

Задание 3

Для негруппированых данных получить интервальную оценку для истинного значения коэффициента корреляции ρ_X,Y, при уровне значимости α = 0,05.

Используя средства Matlab, найдем

,

,

Задание 4

Для негруппированных и группированных данных составить уравнения регрессии Y на x и X на Y.

Рассмотрим вначале случай негруппированных данных.

Этот интервал не содержит нуля, т.е. с доверительной вероятностью 1 – ЫВА = 0,95 существует корреляция между X и Y и имеет смысл построение уравнений регрессии.

,

y(x) = 12,77 – 0,848*x;

x(y) = 10,86 – 0,6*y;

Проверка.

, .

, ;

,

, ;

Случай группированных данных.

Подставим найденные значения в уравнеиня линейной регрессии Y на x и X на y. Получим:

y(x) = 17,14 – 1,4*x;

x(y) = 10,83 – 0,54*y;

Проверка:

Задание 5

Для негруппированных данных нанести графики выборочных регрессионных прямых на диаграмму рассеивания.

Задание 6

Для негруппированных данных по найденным оценкам параметров линейной регрессии Y на x получить оценку s² для дисперсии ошибок наблюдений σ², найти коэффициент детерминации R², построить доверительные интервалы для параметров регрессии a и b, дисперсии ошибок наблюдений σ² и среднего значения Y при x = x₀ .

Для негруппированных данных были получены следующие оценки числовых характеристик и коэффициентов регрессии: , , , , , , , .

Используя соотношение , вычислим остаточную сумму

;

;

;

.

;

Тогда оценка дисперсии ошибок наблюдений равна

.

Коэффициент детерминации равен

.

Поскольку (знак ) , то сделаем проверку правильности расчетов:

(верно).

Полученный результат для коэффициента детерминации означает, что уравнение регрессии на 49,7% объясняет общий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой .

Построим доверительные интервалы для параметров линейной регрессии и дисперсии ошибок наблюдений.

С помощью Matlab найдем квантили распределений Стьюдента и :

, , ;

– доверительный интервал для параметра :

;

;

– доверительный интервал для параметра :

;

;

– доверительный интервал для дисперсии ошибок наблюдений :

;

.

-Найдем границы доверительных интервалов для среднего значения при :

;