ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ (Шпора на коллоквиум)

ОТВЕТЫ НА БИЛЕТЫ ПО ВМ-2 (КОЛЛОКВИУМ).

БИЛЕТ 1.

- Матрицей называется прямоугольная таблица элементов, состоящая из m строк и n столбцов. Эле­ментами матрицы могут служить числа или же функции.

Матрица называется прямоугольной, если число ее строк не равно числу столбцов (m≠n). Например:

Если же m = n, то матрица называется квадратной.

Число строк квадратной матрицы называется порядком этой мат­рицы.

Матрицы А и В считаются равными, если они имеют оди­наковое число строк и столбцов и если при этом элементы матриц А и В, расположенные на одинаковых местах, равны между собой.

Например, если

и

то равенство записывают так: А = В.

- К основным действиям над матрицами относятся умноже­ние и сложение матриц и умножение матрицы на число.

БИЛЕТ 2.

– Пусть М = {1,2, … ,n} – первые n натуральных чисел.

Опр.1: Перестановкой n-го порядка называется упорядоченная последовательность элементов множества М, взятая без пропусков и повторений.

Пример: n=3 => M= {1,2,3}

Выпишем все возможные перестановки 3-го порядка:

(1 2 3), (2 1 3), (3 1 2),

(1 3 2), (2 3 1), (3 2 1).

Всего существует 3 ! =6 всех возможных перестановок 3-го порядка.

Замечание: существует n! всех возможных перестановок n-го порядка.

Опр.2: Элементы , перестановки ( … ) образуют инверсию (беспорядок), если i<j, но > .

Опр.3: Транспозиция элементов и - перемена местами <-> , все остальное без изменения.

Опр.4: Обозначим через N ( … )- общее число версий в перестановке ( … ). Если число

N (…) – четное (нечетное), то перестановка называется четной (нечетной).

Утверждение. Любая транспозиция элементов (необязательно соседних) меняет четность перестановки.

Д-во. Пусть меняются местами соседние элементы, тогда справедливость этого утверждения очевидна.

П усть меняются местами и , между которыми S элементов. (… … )

S чисел

Этого можно достичь, меняя местами соседние элементы (2s+1) раз. При этом четность перестановки меняется (2s+1) раз, (2s+1)- нечетное число => окончательная четность перестановки меняется.

Запишем 2 перестановки друг под другом.

Например (3 2 1 4)

(1 2 3 4) и интерпретируем эту запись как отображение М ->M при которой 3->1, 2->3,

1->2, 4->4.

Опр 5. Подстановкой n-го порядка называется взаимнооднозначное отображение множества M= {1,…,n} самого в себя по закону, который определяется записью

P=( … )

( … ).

Здесь -> , -> βn.

Опр.6 N(p)= N1(p) + N2(p), где N1(p)- число инверсий в порядке ( … ), N2(p)- число инверсий в порядке ( … ).

Если N(p)- четное число (нечетное), то подстановка р называется четной (нечетной).

Очевидно, что одна и та же перестановка n-го порядка может быть записана n! способами (переставляем пары )

Все записи одной и той же перестановки имеют одинаковую точность подстановки.

БИЛЕТ 3.

Пусть А -( ) (i, j=1, ..., n) — квадратная матрица порядка n . Опре­делителем (или детерминантом) матрицы А называется число, которое ста­вится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам. Определителем (или детерминантом) матрицы А называется число, которое вычисляется по формуле

Det A= =

Эта формула называется разложением определителя по 1-м строке.

Свойства определителя:

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, т.е.

Det =Det A

Отсюда следует, что любое утверждение, справедливое для столбцов определителя, справедливо также и для строк.

2. При перестановке двух столбцов (или строк) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

3. Если матрица имеет два одинаковых столбца (или две одинаковые строки), то ее определитель равен нулю.

4. Если все элементы какого-либо столбца (или строки) матрицы умножить на одно и то же число, то ее определитель умножится на это число.

5. Если матрица содержит столбец (строку), состоящую из нулей, то ее определитель равен нулю.

6. Если элементы какого-либо столбца (строки) матрицы представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель этой матрицы можно представить в виде суммы двух определителей, а именно:

7. Если соответствующие элементы двух столбцов (строк) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

8. Если к элементам какого-либо столбца (строки) матрицы прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

9. Сумма произведений элементов любого столбца (строки) матрицы и алгебраических дополнений соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю.

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000БИЛЕТ 4.

Пусть A=|| || (j= ) (i= ).

Минором k-того порядка матрицы А (не обязатльно квадратной) называется определитель, стоящий на пересечении некоторых к строк и к столбцов.

Пусть A=|| || ((j= ) (i= ). Минором Мij к элементу называется определитель, получаемый из определителя det A вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Величина =(-1) Mij называется алгебраическим дополнением к .

Формула для разложения определителя по i-той строке:

det A= * +…+ *

Формула для разложения определителя по j-тому столбцу:

det A= * +…+ *

Определитель Вандермонда:

По индукции

1 1 … 1

a a … a = П ( - ) (1<=j<i<=n)

a a … a

a a … a

При n=3

1 1 1

a a a = (a -a )( a -a )( a - a )

a a a

БИЛЕТ 5.

Система столбцов (β1…βn) называется линейно- зависимой, если существует ( … ), причем

( α1²+…+αn² ≠ 0),

0

α1β1+…+ αnβn= 1 = θn (где θn- нулевой столбец высоты n)

0

Система столбцов (β1…βn) является линейно-зависимой  хотя бы один из столбцов может быть линейно выражен через другие.

Рангом матрицы называется ранг любого оператора, представляемого этой матрицей, т.е размерность образа этого оператора.

Определение: Минор, определяющий ранг матрицы, называется базисным. Строки и столбцы, формирующий базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Теорема (о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Теорема (о ранге матрицы): Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов).

Доказательство: Докажем для столбцов. Пусть RangA=r. Надо доказать, что r=k, где k – максимальное число независимых столбцов любого множеств, состоящего из больше, чем k столбцов.

Предположим, что k<r. Это невозможно, т.к. существует к линейно независимых базисных столбцов. Следовательно R≥r.

Предположим, что k>r. Докажем, что это невозможно.

Пусть столбцы C₁,…,C_k – линейно независимы. Обозначим B₁,…,B_k – базисные столбцы (может быть, некоторые из столбцов C совпадают с столбцами B). Каждый из столбцов C₁,…,C_k может быть записан в виде линейной комбинации базисных столбцов:

Составим некоторую линейную комбинацию из столбцов. Тогда достаточно будет выражения равенства:

матричное равенство. m уравнений в правой части – 0, относительно k неизвестных β₁,…,β_k, k>m

При рассмотрении метода Гаусса докажем, что ненулевое решение такой системы. Т.е.

не все равны нулю: . Но это противоречит предположению о линейной независимости столбцов C₁,…,C_k

Вывод: k<r – невозможно, k>r – невозможно, следовательно, k=r.

Следствия:

1. Определение: Ранг матрицы можно определить как максимальное число линейно независимых строк (столбцов).

2. Необходимым и достаточным условием равенства нулю определителя:

Пусть A: nxn, если detA=0  RangA<n

Доказательство:

Достаточно: RangA<n => n столбцов линейно зависимы => detA=0

Необходимо: Пусть detA=0 => базисный минор не может иметь порядок n => RangA<n.

Замечание: В доказательстве теоремы о базисном миноре мы рассматривали только минор, содержащий в себе базисный минор. Этого оказалось достаточным, чтобы гарантировать, что RangA=r.

БИЛЕТ 6.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если же определитель матрицы не равен нулю, то матрица называется невырожденной.

Матрица B(C) называется левой (правой) обратной к матрице А, если B*A=E (A*C=E).

Матрица А называется обратной к матрице А, если А^-1*А =Е.

Теорема о существовании обратной матрицы:

м.А^-1  detA≠ 0

Необходимость:

Пусть . Тогда

=E

Det ( )=Det E