Задачи к экзамену (Экзаменационная программа и билеты)
Описание файла
Файл "Задачи к экзамену" внутри архива находится в папке "vm2_exam". Документ из архива "Экзаменационная программа и билеты", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "аналитическая геометрия (вм-2)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Задачи к экзамену"
Текст из документа "Задачи к экзамену"
5
СТАНДАРТ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Задачи к экзамену
Составили Сливина Н.А.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Найти координаты векторов . Изобразить эти векторы.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Найти длины сторон треугольника.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). B1C1 — средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне BC. Найти длину B1C1.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 1). Найти внутренние углы треугольника ABC.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Вычислить площадь треугольника.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины A.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 3). Найти длину высоты, опущенной на строну AB.
-
Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 3). Найти длину высоты, опущенной на строну AB.
-
Вычислить объем тетраэдра OABC, O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Изобразить тетраэдр.
-
Вычислить объем тетраэдра OABC, O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(0, 0, 1). Изобразить тетраэдр.
-
Записать координаты какого-либо вектора, ортогонального вектору .
-
Записать координаты какого-либо вектора, коллинеарного вектору .
-
Записать координаты какого-либо вектора, компланарного векторам .
-
Записать координаты какого-либо вектора, компланарного векторам .
-
Записать координаты какого-либо вектора, образующего острый угол с вектором .
-
Записать координаты какого-либо вектора, образующего тупой угол с вектором .
-
Записать координаты какого-либо вектора, образующего с векторами левую тройку.
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
-
Записать уравнения координатных плоскостей.
-
Записать параметрические уравнения координатных осей.
-
Записать канонические уравнения координатных осей.
-
Записать уравнения граней тетраэдра OABC, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).
-
Записать уравнения высоты тетраэдра OABC, опущенной из вершины O. Здесь O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).
-
Записать уравнение прямой, проходящей через вершину O(0, 0, 0) тетраэдра OABC и перпендикулярной основанию ABC. Здесь A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).
-
Записать уравнения прямой, проходящей через вершину A(1, 0, 0) тетраэдра OABC перпендикулярно плоскости OBC. Здесь O(0, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).
-
Записать уравнения граней призмы OABO1A1B1, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), O1 (0, 0, 1), A1 (1, 0, 1), B1 (0,1,1).
-
Записать уравнения ребер призмы OABO1A1B1, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), O1 (0, 0, 1), A1 (1, 0, 1), B1 (0,1,1).
-
Найти расстояние между ребрами BC и OO1 призмы OABCO1A1B1C1,
где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(1,2,0), С(0,3,0), O1 (0, 0, 1), A1 (1, 0, 1), B1 (1,2,1), C1 (0, 3, 1).
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
-
Вычислить определители, приведением к диагональной форме:
-
Как изменится определитель 3-го порядка, если знаки всех его элементов поменять на противоположные?
-
Как изменится определитель третьего порядка, если все его строки записать в обратном порядке? Сравните и .
-
Как изменится определитель четвертого порядка, если все его строки записать в обратном порядке? Сравните и .
МАТРИЦЫ
-
Вычислить:
-
Вычислить обратную матрицу, проверить умножением:
ПРОСТРАНСТВО АРИФМЕТИЧЕСКИХ ВЕКТОРОВ Rn
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В Rn
-
Векторы заданы своими координатами в некотором базисе. Доказать, что они образуют базис в соответствующем пространстве Rn:
-
Исследовать на линейную зависимость систему векторов:
-
Доказать, что множество векторов пространства R6, компоненты которых с четными номерами равны нулю, образуют линейное подпространство в R6. Найти базис и размерность этого подпространства.
-
Доказать, что множество векторов пространства R4, первая и последняя компоненты которых равны нулю, образуют линейное подпространство в R4. Найти базис и размерность этого подпространства.
-
Привести матрицу к ступенчатому виду, указать ее ранг, указать размерность пространства строк и размерность пространства столбцов этих матриц:
-
Пусть — произвольные векторы из R2. Показать, что скалярное произведение в R2 можно определить равенствами:
-
Вычислить скалярное произведение, длины и угол между векторами и в естественном (стандартном) базисе. Вычислить скалярное произведения этих векторов, их длины, угол между ними, используя скалярное произведение, определенное равенством , где , — произвольные векторы из R2. Сравните результаты вычислений.
-
Вычислить скалярное произведение, длины и угол между векторами и в естественном (стандартном) базисе. Вычислить скалярное произведения этих векторов, их длины, угол между ними, используя скалярное произведение, определенное равенством , где , — произвольные векторы из R2. Сравните результаты вычислений.
-
Доказать ортогональность системы векторов; дополнить систему до ортогонального базиса:
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
-
Решить системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера:
-
Решить системы линейных алгебраических уравнений как матричные уравнения:
-
Исследовать системы линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений, найти и проверить общее решение):
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
а) AB; б) A2+ B; г) A+ BA.
-
Линейный оператор A, действующий в R3, задан матрицей . Найти координаты образа вектора .
-
Линейные операторы, действующие в R3, заданы своими матрицами. Найти собственные значения и собственные векторы операторов:
-
Линейные операторы, действующие в R3, заданы своими матрицами. Найти матрицы операторов в указанных базисах:
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определить вид поверхности. Изобразить ее схематически. Найти и изобразить линии пересечения поверхности с координатными плоскостями и с заданной плоскостью.