Вопросы к экзамену (Экзаменационная программа и билеты)

Линейная алгебра

Вопросы к экзаменационным билетам

1. Скалярное произведение геометрических векторов. Определение. Свойства. Доказать необходимое и достаточное условие ортогональности векторов.

2. Скалярное произведение геометрических векторов. Определение. Свойства. Доказать формулу вычисления скалярного произведения в координатах.

3. Векторное произведение геометрических векторов. Определение. Свойства. Доказать необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

4. Векторное произведение геометрических векторов. Определение. Свойства. Доказать формулу вычисления векторного произведения в координатах.

5. Смешанное произведение геометрических векторов. Определение. Доказать необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

6. Смешанное произведение геометрических векторов. Определение. Доказать формулу вычисления смешанного произведения в координатах.

7. Умножение матриц. Свойства операции умножения. Доказать AE=EA, где A — квадратная матрица, E — единичная матрица соответствующей размерности.

8. Обратная матрица. Определение. Теорема о существовании обратной матрицы.

9. Обратная матрица. Определение. Доказать единственность обратной матрицы.

10. Обратная матрица. Определение. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

11. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера.

12. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов в Rⁿ (или в линейном пространстве). Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Доказать любое свойство.

13. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов в Rⁿ (или в линейном пространстве). Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.

14. Определение ранга матрицы. Ранг ступенчатой матрицы.

15. Базис, размерность линейного подпространства в Rⁿ (или линейного пространства). Координаты вектора в заданном базисе.

16. Скалярное произведение в Rⁿ (или в линейном пространстве). Неравенство Коши-Буняковского.

17. Метрические соотношения в Rⁿ (или в линейном пространстве) — длина вектора, угол между векторами. Неравенство треугольника.

18. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Свойства решений линейной системы.

19. Необходимое и достаточное условие совместности линейной системы (теорема Кронекера-Капелли). Доказать.

20. Необходимое и достаточное условие нетривиальной совместности однородной системы. Доказать.

21. Однородная система линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Доказать существование.

22. Однородная система линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения.

23. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения.

24. Линейный оператор. Определение. Примеры (описать, доказать линейность).

25. Линейный оператор. Ядро линейного оператора. Примеры.

26. Линейный оператор. Матрица линейного оператора в заданных (заданном) базисах.

27. Преобразование координат вектора при изменении базиса.

28. Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса.

29. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристическое уравнение.

30. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Свойства собственных векторов. Доказать, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениями линейно независимы.

ОБРАЗЕЦ БИЛЕТА

1. Скалярное произведение геометрических векторов. Определение. Свойства. Доказать необходимое и достаточное условие ортогональности векторов.

2. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Свойства собственных векторов. Доказать, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениями линейно независимы.

3. Записать уравнения граней призмы OABO₁A₁B₁, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), O₁ (0, 0, 1), A₁ (1, 0, 1), B₁ (0,1,1).

4. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений, найти и проверить общее решение):

5. Определить вид поверхности . Изобразить ее схематически. Найти и изобразить линии пересечения поверхности с координатными плоскостями и с плоскостью .