Матан. 1 сем. ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА (ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА по курсу «Математический анализ» 1 курс 1 семестр (для факультетов МТ, РК, ИБМ и ФН) 2008/2009 уч.год.)

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

по курсу «Математический анализ» 1 курс 1 семестр

(для факультетов МТ, РК, ИБМ и ФН) 2008/2009 уч.год.

1(*). Высказывания, логическая символика, кванторы. Необходимое условие, достаточное условие. Теорема как импликация. Прямая, обратная и противоположная теоремы, связь между ними. Доказательство от противного. Формулировка отрицания сложного высказывания в утвердительной форме.

2(**). Множество R действительных чисел, его полнота (непрерывность). Промежутки и окрестности. Принцип вложенных отрезков.

3. Ограниченные и неограниченные множества в R. Определение точных верхней и нижней граней множества(**). Доказать(**) их существование. Доказать(**) теоремы о точных гранях. Привести примеры.

4. Функция и ее график. Определение композиции функций и обратной функции. Определение четных, нечетных и периодических функций, свойства их графиков. Определение функции: (а) монотонной; (б) ограниченной на данном промежутке.

5. Основные элементарные функции, их свойства (области определения и значений, монотонность, чётность-нечётность, периодичность) и графики. Класс элементарных функций. Примеры неэлементарных функций.

6. Числовая последовательность. Определение предела последовательности, его геометрическая интерпретация. Сходящиеся последовательности. Единственность предела последовательности. Арифметические теоремы о пределе последовательности. Доказать: необходимое условие сходимости (ограниченность); достаточное условие сходимости последовательности (монотонность и ограниченность)(**). Привести примеры.

7. Определение числа е (доказать(**) существование соответствующего предела). Определение гиперболических функций, их простейшие свойства и графики. Вывести основные тождества, связывающие гиперболические функции.

8. Различные типы стремления действительного аргумента и соот­ветствующие им семейства окрестностей. Общее определение предела функции по Коши при произвольном стремлении аргумента. Расшифровка определения и геометрическая интерпретация предела для случаев: x→a, x→a+, x→a-, x→∞, x→+∞, x→-∞. Связь между пределами функции при односторонних и двустороннем стремлении аргумента. Определение предела функции по Гейне при произвольном стремлении аргумента, его эквивалентность пределу функции по Коши. Применение предела функции по Гейне.

9. Доказать теоремы: (а) о единственности предела; (б) о замене переменной в пределе (о пределе сложной функции).

10. Доказать теоремы о локальных свойствах предела функции: (а) о локальной ограниченности функции, имеющей предел; (б) о локальной знакоопределенности функции, имеющей предел данного знака (о сохранении функцией знака своего предела).

11. Доказать теоремы: (а) о предельном переходе в неравенстве: (б) о пределе промежуточной функции.

12. Определение бесконечно малой функции при данном стремлении аргумента, расшифровка для конкретных стремлений. Доказать теоремы: о связи функции, ее предела и бесконечно малой при некотором стремлении аргумента и свойства бесконечно малых функций.

13. Определение бесконечно большой функции при данном стремлении аргумента. Расшифровка и геометрическая интерпретация для конкретных стремлений. Доказать теорему о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций.

14. Доказать теорему о «первом замечательном пределе» и её следствия.

15. Доказать теорему о «втором замечательном пределе» и её следствия.

16. Сравнение функций при данном стремлении, определение отношений «~»и «о»-малое. Доказать критерий эквивалентности двух функций (теоремы о разности эквивалентных функций) и другие свойства отношения эквивалентности (теоремы об эквивалентных функциях). Определение порядка малости (или роста) одной функции относительно другой при данном стремлении.

17. Вывести эквивалентности (при х→0) для функций: sinх, tgx, arcsinх, arctgx, 1 - cosх, а^х -1, loga(1+x), (1+x)^p -1, а также для многочлена Р(х) при х→0 и х→∞ (т.е. для каждой из этих функций указать эквивалентную ей функцию вида С∙х^к и доказать соответствующие эквивалентности).

18. Определение непрерывности функции в точке, равносильные формулировки. Односторонняя непрерывность в точке, ее связь с (обычной) непрерывностью в точке. Доказать теорему о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Доказать непрерывность суммы, произведения, частного и композиции двух непрерывных функций. Формулировка теоремы о непрерывности основных элементарных функций, доказательство непрерывности многочлена и функции sinx. Доказательство теоремы о непрерывности элементарных функций.

19. Определение функции, непрерывной на промежутке, в частности, на отрезке. Доказать(**) теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке. Привести примеры, иллюстрирующие: (а) применение этих теорем; (б) существенность условий в их формулировках.

20. Определение точки разрыва функции, их классификация.

21. Определение асимптоты графика функции. Виды асимптот. Критерий существования горизонтальной и вертикальной асимптот. Вывести формулы для вычисления коэффициентов уравнения наклонной асимптоты.

22. Определение производной функции в точке, ее геометрический и физический смысл. Определение касательной и нормали к графику функции, вывод их уравнений. Определение дифференцируемости функции в точке. Доказать теоремы о связи дифференцируемости: (а) с существованием конечной производной; (б) с непрерывностью функции в точке.

23. Односторонние производные. Бесконечная производная функции в точке и ее геометрическая интерпретация. Связь односторонних производных с обычной.

24. Вывести правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Доказать теорему о производной сложной и обратной функций. Вывести формулы для производных константы, показательной, логарифмической, степенной и тригонометрических (в том числе обратных) функций.

25. Логарифмическая производная и ее применение. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной.

26. Определение дифференциала функции , его геометрический смысл, вывести правила нахождения дифференциала суммы, произведения и частного двух функций. Доказать инвариантность формы дифференциала. Определение дифференциалов высших порядков.

27. Определение (локального) экстремума функции. Доказать теорему Ферма (необходимое условие экстремума). Определение критической и стационарной точек функции.

28. Доказать теоремы Ролля и Лагранжа и дать им геометрическую интерпретацию. Записать теорему Лагранжа в виде формулы конечных приращений. Доказать теорему Коши.

29. Сформулировать правило Лопиталя-Бернулли и доказать его для случая . Раскрытие неопределенностей других видов. Доказать теорему о сравнении роста показательной, степенной и логарифмической функции при х­­­→+∞.

30. Доказать(**) теоремы о представимости функции по формуле Тейлора с остаточным членом: (а) в форме Лагранжа; (б) в форме Пеано. Вывести разложения по формуле Маклорена функций: е^х, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)^p. Применение формулы Тейлора к приближенным вычислениям и нахождению пределов.

31. Доказать достаточное условие монотонности дифференцируемой функции. Доказать достаточные признаки экстремума функции: первый (в критической точке) и второй (в стационарной точке). Доказать(**) третий достаточный признак локального экстремума (по n-ой производной).

32. Определение выпуклости графика функции (на промежутке) и его точки перегиба. Доказать достаточное условие выпуклости графика. Доказать: (а) необходимое условие; (б) достаточное условие перегиба графика в данной точке.

33. Схема полного исследования функции и построения (эскиза) ее графика.

34. Определение длины дуги плоской и пространственной кривой. Написать формулы для производной и дифференциала длины дуги (вывод только для плоской кривой). Геометрический смысл дифференциала длины дуги плоской кривой.

35. Определение векторной функции скалярного аргумента как отображение из R в R² или R³, годограф векторной функции. Определение предела и непрерывности векторной функции. Определение производной векторной функции, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к плоской и пространственной кривой, заданной параметрически. Вывод правил дифференцирования векторной функции. Доказать теорему о производной векторной функции постоянной длины, дать её геометрическую интерпретацию.