86216 (Многомерные и многосвязные системы)
Описание файла
Документ из архива "Многомерные и многосвязные системы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "контрольные работы и аттестации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86216"
Текст из документа "86216"
Контрольная работа
«Многомерные и многосвязные системы»
Задание
Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:
1. Передаточную функцию ;
2. Частотную передаточную функцию ;
3. Годограф;
4. Импульсную характеристику ;
5. Переходную характеристику ;
6. ЛАЧХ ;
7. ФЧХ .
Составить структурную схему системы.
Дано:
;
;
.
Решение:
1. Передаточная функция
Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:
,
.
Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:
; (1)
, (2)
где
; ;
– лапласовы преобразования координат состояния , выходных и входных сигналов.
Преобразуем уравнение (1):
Выносим за скобки:
где
– единичная матрица.
Умножаем слева на обратную матрицу:
Откуда получаем:
.
Подставляем в уравнение (2):
Получаем:
Выражение называют передаточной функцией системы.
Находим её:
Находим обратную матрицу:
Подставляем:
.
2. Частотная передаточная функция
Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции :
,
получаем:
.
Выделим действительную и мнимую части:
,
для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно – сопряжённый знаменатель:
;
;
;
.
3. Годограф
Годограф – это график частотной передаточной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности.
Изменяя частоту, производим расчёт действительной и мнимой частей частотной передаточной функции.
Результат расчёта записываем в таблицу 1.
Таблица 1. Расчёт годографа
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 | 2,8750000 | 0,0000000 | 10 | -0,0512719 | 0,4570747 | 200 | -0,00018 | 0,020008 |
1 | 2,7230769 | 0,9846154 | 20 | -0,0163435 | 0,2074170 | 300 | -0,000078 | 0,013336 |
2 | 1,9500000 | 1,9000000 | 30 | -0,0075500 | 0,1355448 | 400 | -0,000044 | 0,010001 |
3 | 0,8344828 | 1,9862069 | 40 | -0,0043030 | 0,1009350 | 500 | -0,000028 | 0,008001 |
4 | 0,2250000 | 1,5500000 | 50 | -0,0027705 | 0,0804792 | 600 | -0,000019 | 0,006667 |
5 | 0,0130624 | 1,1611030 | 60 | -0,0019302 | 0,0669441 | 700 | -0,000014 | 0,005715 |
6 | -0,0500000 | 0,9000000 | 70 | -0,0014209 | 0,0573176 | 800 | -0,000019 | 0,005000 |
7 | -0,0645030 | 0,7269777 | 80 | -0,0010893 | 0,0501171 | 900 | -0,000009 | 0,004445 |
8 | -0,0634615 | 0,6076923 | 90 | -0,0008614 | 0,0445267 | 1000 | -0,000007 | 0,004000 |
9 | -0,0578113 | 0,5216604 | 100 | -0,0006982 | 0,0400600 | 2000 | -0,000002 | 0,002000 |
Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.
Р ис. 1. Годограф
4. Импульсная характеристика
Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:
.
Найдём полюса передаточной функции:
Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.
Разложим передаточную функцию на простые дроби:
.
Используя табличные значения, находим:
,
.
Таким образом, получаем:
.
Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2. Импульсная характеристика
| 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 |
| -4 | 11,28 | 62,69 | 100,8 | -167,1 | -1236 | -2395 | 2097 | 23854 | 54578 | -15944 |
Строим график импульсной характеристики – рис. 2.
Рис. 2. Импульсная характеристика
5. Переходная характеристика
Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р:
.
Найдём полюса передаточной функции:
; .
Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.
Разложим передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби:
.
Приводим к общему знаменателю:
.
Приравниваем коэффициенты при равных степенях р:
,
,
.
Откуда находим:
,
,
.
Используя табличные значения, находим:
,
,
.
Таким образом, получаем:
.
Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 3.
Таблица 3. Переходная характеристика
| 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 |
| 0 | 0,654 | 17,59 | 62,52 | 69,32 | -243 | -1209 | -1744 | 3830 | 24151 | 42653 |
Строим график переходной характеристики – рис. 3.
Р ис. 3. Переходная характеристика
6. ЛАЧХ
Для получения ЛАЧХ найдём модуль частотной передаточной функции:
.
далее находим 20 десятичных логарифмов от найденного модуля:
.
Это и есть выражение для ЛАЧХ.
Расчёт значений ЛАЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 4. Размерность ЛАЧХ – децибелы (дБ).
Таблица 4. ЛАЧХ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 | 0,1 | 9,17406 | 0,1 | 1,25893 | 9,20891 | 1,2 | 15,8489 | -11,426 |
-0,9 | 0,12589 | 9,17482 | 0,2 | 1,58489 | 9,08243 | 1,3 | 19,9526 | -13,614 |
-0,8 | 0,15849 | 9,17601 | 0,3 | 1,99526 | 8,70564 | 1,4 | 25,1189 | -15,738 |
-0,7 | 0,19953 | 9,17788 | 0,4 | 2,51189 | 7,83066 | 1,5 | 31,6228 | -17,818 |
-0,6 | 0,25119 | 9,18077 | 0,5 | 3,16228 | 6,23375 | 1,6 | 39,8107 | -19,869 |
-0,5 | 0,31623 | 9,18519 | 0,6 | 3,98107 | 3,94960 | 1,7 | 50,1187 | -21,902 |
-0,4 | 0,39811 | 9,19182 | 0,7 | 5,01187 | 1,26946 | 1,8 | 63,0957 | -23,923 |
-0,3 | 0,50119 | 9,20135 | 0,8 | 6,30957 | -1,5050 | 1,9 | 79,4328 | -25,936 |
-0,2 | 0,63096 | 9,21400 | 0,9 | 7,94328 | -4,1982 | 2 | 100 | -27,944 |
-0,1 | 0,79433 | 9,22792 | 1 | 10 | -6,7459 | 2,1 | 125,893 | -29,950 |
0 | 1 | 9,23483 | 1,1 | 12,5893 | -9,1470 | 2,2 | 158,489 | -31,953 |
Строим график ЛАЧХ – рис. 4.
Р ис. 4. ЛАЧХ
7. ФЧХ
ФЧХ – угол поворота вектора на комплексной плоскости в зависимости от частоты:
.