86211 (Теорія систем та системний аналіз), страница 3

А і Б: за першим критерієм альтернатива А краща за Б, за другим критерієм альтернатива Б краща за А. Тому альтернативи А і Б визнаємо непорівнянними.

А і В: за 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 критеріями альтернатива А краща за В, за 5 критерієм альтернативи А і В - рівноцінні. Тому альтернативу В відкидаємо.

А і Г: за першим критерієм альтернатива А краща за Г, за другим критерієм альтернатива Г краща за А. Тому альтернативи А і Г визнаємо непорівнянними.

А і Д: за 1, 4, 5, 6, 7, 8 критеріями альтернатива А краща за Д, за 2 і 3 критеріями альтернативи А і Д - рівноцінні. Тому альтернативу Д відкидаємо.

Б і Г: за всіма критеріями альтернатива Г краща за Б, Тому альтернативу Б відкидаємо.

Таким чином, альтернативи А і Г утворюють множину Парето.

Задача 2

За заданим профілем переваг для голосування 21 виборця за чотири альтернативи визначити альтернативу-переможця за правилами:

• відносної більшості;

• Кондорсе;

• де Борда;

• Копленда;

• Сімпсона.

Згідно з правилом відносної більшості кожен виборець вибирає лише одну альтернативу. Перемагає та з них, яка набирає найбільшу кількість голосів.

В голосуванні прийняв участь 2+5+6+8 = 21 виборець. Із них 5+6 = 11 виборців віддали перевагу альтернативі d , а 10 іншім альтернативам.

Доля виборців, які віддали перевагу альтернативі d дорівнює:

11/21*100% = 52, 38% > 51%.

Тому, альтернатива d складає відносну більшість.

Згідно з правилом Кондорсе перемагає альтернатива (обов'язково єдина), яка переважає будь-яку іншу за правилом відносної більшості. Недолік цього правила полягає в тому, що можлива така конфігурація переваг, за якої не буде переможця (парадокс Кондорсе). Така ситуація виникає тоді, коли парні порівняння за правилом відносної більшості утворюють цикл.

З 21 виборця 2 віддали перевагу альтернативі a, 8 віддали перевагу альтернативі c, 11 віддали перевагу альтернативі d, альтернативі c не віддав перевагу жоден виборець.

Альтернативі d переважає будь-яку іншу за правилом відносної більшості. Тому, згідно з правилом Кондорсе перемагає альтернатива d.

Згідно з правилом де Борда кожен виборець проголошує свої переваги, ранжуючи n альтернатив від найкращої до найгіршої (байдужість заборонена). Альтернатива має 0 балів за останнє, 1 бал — за передостаннє і так далі, n — 1 бал — за перше місце. Перемагає альтернатива з найбільшою сумою балів.

Альтернативи набрали наступну кількість балів:

a: 3*2+2*5+1*8+0*6 = 24;

b: 3*0+2*10+1*11+0*0 = 33;

c: 3*8+2*6+1*2+0*5 = 38;

d: 3*11+2*8+1*0+0*10 = 49.

За правилом де Борда перемагає альтернатива d (вона має 49 балів, альтернатива а — 24, b – 33; с — 38 балів).

Згідно з правилом Копленда порівняємо альтернативу а з будь-якою іншою альтернативою х. Додамо до балів альтернативи а одиницю, якщо для більшості а переважає х: а > х; віднімемо одиницю, якщо для більшості х переважає а: х > а; у разі рівності голосів нічого не робимо. Підсумовуючи кількість балів для всіх альтернатив, отримаємо оцінку Копленда. Перемагає альтернатива з найбільшою кількістю балів.

Альтернатива a переважає b в 7 випадках, b переважає a в 14 випадках: для a -1, для b+1;

Альтернатива a переважає c в 7 випадках, c переважає a в 14 випадках: для a -1, для c +1;

Альтернатива a переважає d в 10 випадках, d переважає a в 11 випадках: для a -1, для d +1;

Альтернатива b переважає c в 7 випадках, c переважає b в 14 випадках: для b -1, для c +1;

Альтернатива b переважає d в 10 випадках, d переважає b в 11 випадках: для b -1, для d +1;

Альтернатива c переважає d в 10 випадках, d переважає c в 11 випадках: для c -1, для d +1

Підсумовуючи кількість балів для всіх альтернатив, отримаємо оцінку Копленда. Перемагає альтернатива d (вона має 3 бали, альтернатива а — мінус 3 бали, b— мінус 2 бали, а с — плюс 2 бали).

Згідно з правилом Сімпсона позначимо як N(а,x) кількість виборців, для яких а > х. Оцінкою Сімпсона для альтернативи а називається число min N(а,x). Перемагає альтернатива з найбільшою х: х≠а оцінкою Сімпсона.

Кількість виборців, для яких а > b : 7; а > с : 7; а > d : 10; min N(а,x)=7.

Кількість виборців, для яких b > а: 14; b > с : 7; b > d : 10; min N(а,x)=7.

Кількість виборців, для яких с > а: 14; с > b: 14; с > d : 10; min N(а,x)=10.

Кількість виборців, для яких d > а: 11; d > b: 11; d > с: 11; min N(а,x)=11.

Для профілю переваг за правилом Сімпсона перемагає альтернатива d (її оцінка Сімпсона дорівнює 11 балам, оцінка альтернативи а — 7, b — 7, а с —10 балів).

Задача 3

Методом попарних порівнянь для нестрогого ранжування на підставі зазначених чотирма експертами переваг упорядкувати вісім альтернатив.

Метод парних порівнянь для нестрогого ранжування полягає в тому, що на підставі зазначених експертом переваг будують матриці

Очевидно, що Далі обчислюють матрицю

А =

Альтернативи впорядковують відповідно до значень а_s.

Альтернатива з найменшим а_s отримує ранг 1 і т. д.

На підставі зазначених кожним експертом переваг побудуємо матриці: