86160 (Типовой расчет), страница 3

Дано: m₁ = 60%, m₂ = 10%, m₃ = 30%, n₁ = 80%, n₂ = 90%, n₃ = 80%, j = 3.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу покупают одно изделие.

Рассмотрим событие А – изделие оказалось первосортным.

Рассмотрим гипотезы:

Событие H₁ – наудачу купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе.

Событие H₂ – наудачу купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе.

Событие H₃ – наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.

По условию задачи необходимо найти вероятность события Н₃|А, то есть события состоящего в том, что наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе, если известно, что она первосортное.

Так как события H₁, H₂ и H₃ образуют полную группу событий, и событие А может наступить с одним из этих событий, то для нахождения вероятности события воспользуемся формулой Байеса:

,

где полная вероятность события А, которая может быть определена по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н₁, Н₂, Н₃ с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события H_i, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Для события Н₁ имеем: m₁ = 60% (количество изделий, изготовленных на 1-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂ и Н₃.

Для события Н₂ имеем: m₂ = 10% (количество изделий, изготовленных на 2-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н₂ равна:

Для события Н₃ имеем: m₃ = 30% (количество изделий, изготовленных на 3-ем заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н₃ равна:

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂, Н₃ соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле:

где: k_i –число стандартных изделий, изготовленных на i – заводе, m_i – общее число изделий, изготовленных на i – заводе. Тогда

Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

=

= 0,6 × 0,8 + 0,1 × 0,9 + 0,3 × 0,8 = 0,81.

Отсюда, по формуле Байеса получим: .

Ответ: .

11. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет n раз. Определить вероятность того, что решка выпадает m раз.

Дано: n = 5, m = 3.

Решение.

Испытание состоит в бросании монеты.

Вероятность выпадения решки в каждом испытании постоянна: р = 0,5 , а выпадения герба – q = 1 – p = 1 -0,5 = 0,5. Всего монета бросается (n + m) = 5 + 3= 8 раз. Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Тогда искомую вероятность находим по формуле:

Отсюда, искомая вероятность равна:

Ответ: 0,2187.

12. На каждый лотерейный билет с вероятностью р₁ может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р₂ – мелкий выигрыш, и с вероятностью р₃ билет может оказаться без выигрыша . Куплено n билетов.

Определить вероятность получения n₁ крупных выигрышей и n₂ мелких.

Дано: n = 14, n₁ = 2, n₂ = 4, р₁ = 0,2, р₂ = 0,2.

Решение.

Событие А – среди 14 билетов получено 2 крупных выигрыша и 4 мелких.

Рассмотрим события:

Событие А₁ – выпал крупный выигрыш.

Событие А₂ – выпал мелкий выигрыш.

Событие А₃ – билет оказался без выигрыша.

Вероятности этих событий соответственно равны: р₁ = 0,2, р₂ = 0,2, р₃ = 1 - 0,2 – 0,2 = 0,6.

Вероятность события А находим по формуле полиномиального распределения вероятностей:

Отсюда:

Ответ: .

13. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р .

Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: k₁ ≤ m.

Дано:n = 100, p = 0,8, k₁ = 70.

Решение.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

,

где: Ф(х) – функция Лапласа,

,

По условию, n=100, p= 0,8, q = 1- p = 1- 0,8 = 0,2 , k₁ = 70, k₂ = 100. Вычислим х` и x``:

,

Учитывая, что функция Лапласа нечетна, то есть Ф(-х) = - Ф(х), получим

По таблице приложения 2 найдем: Ф(5) = 0,5; Ф(2,5)= 0,4938.

Искомая вероятность равна:

Р₁₀₀( ) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938.

Ответ: 0,9938.

14. Дана плотность распределения случайной величины Х.

Найти параметр γ, функцию распределения случайной величины Х. математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), вероятность выполнения неравенства -2< x < 0.

Решение.

Воспользуемся свойством плотности распределения:

.

В данном случае:

, так как при . Тогда:

То есть:

Тогда получим две функции плотности распределения:

Контроль:

Функцию распределения случайной непрерывной величины Х найдём по формуле:

где: - функция плотности распределения вероятностей на трёх интервалах.

1. При имеем:

1. При исходный интеграл разобьем на два интеграла:

1. При исходный интеграл разобьем на три интеграла:

Таким образом, функция распределения примет вид:

б) Математическое ожидание находим по формуле:

Применяя формулу, получим:

в) Найдём дисперсию случайной величины Х :

Найдём математическое ожидание квадрата случайной величины Х по формуле:

Тогда дисперсия

Определяем вероятность выполнения неравенства -2 < x < 0:

Ответ:

,

М(х) = -2, D(x) = 0,3333, .