Министерство высшего образования Украины

Национальный Технический Университет Украины

“Киевский политехнический институт”

Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления

К о н т р о л ь н а я р а б о т а

по дисциплине :

“ Теория вероятностей и математическая статистика”

Вариант № 24

Выполнил студент гр. ЗІС - 91

ІІI курса факультета ФИВТ

Луцько Виктор Степанович

2009г.

Задача 1

Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:

а) сумма числа очков не превосходит N;

б) произведение числа очков не превосходит N;

в) произведение числа очков делится на N.

Исходные данные: N=18.

Решение задачи:

Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.

Р(А) =	m
	n

где: n – число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания;

m - число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию А.

а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:

n = 36;m = 36

	Р(А) =	36	=	1 ;
		36

б) при произведении числа очков, не превосходящих N:

n = 28;m = 36

	Р(А) =	28	=	7	0,778 ;
		36		9

в) при произведении числа очков, делящихся на N:

n = 3;m = 36

	Р(А) =	3	=	1	0,083 .
		36		12

Ответы:

а) Р(А) = 1 ;

б) Р(А) = 7/9 0,778 ;

в) Р(А) = 1/12 0,083.

Задача 2

Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно =1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т₁ первосортных, т₂, т₃ и т₄ второго, третьего и четвертого сорта соответственно .

Исходные данные: n₁ = 3; n₂ = 1; n₃ = 6; n₄ = 2;m₁ = 2; m₂ = 1; m₃ = 3; m₄ = 1.

Решение задачи.

1. Определяем количество способов нужной комбинации:

С = С_n1 ^m1 x С_n2 ^m2 x С_n3 ^m3 x С_n4 ^m4 = С₃ ² x С₁ ¹ x С₆ ³ x С₂ ¹ ;

1. Определяем количество всех возможных способов:

С = С_n1+n2+n3+n4 ^m1+m2+m3+m4 = С₁₂ ⁷ ;

3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи:

Р =	С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1	=	3 х 1 х	4 х 5 х 6	х 2	=
				2 х 3
	С12 7		8 х 9 х 10 х 11 х 12
			2 х 3 х 4 х 5

	=	3 х 5	=	5	0,15
		9 х 11		33

Ответ: Р = 5/33 0,15 .

Задача 3

Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.

Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4.

Решение задачи.

k=4

n=8

Общее число случаев, очевидно, равно С_n ^m , число благоприятных случаев С_k ^l x С_n-k ^m-l , откуда:

Р(А) =	Сk l x Сn-k m-l	=	С4 3 x С8-4 5-3	=	3	0, 4286 .
	Сn m		С8 5		7

Ответ: Р(А) = 3/7 0, 4286 .

Задача 7

В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S₁ и S₂. Исходные данные:R =14; S₁ = 2,6; S₂ = 5,6.

Решение задачи

S R 1
					P(A) =	S	.
S2						R2

P(A1) =	S1	=	2,6	0,0042246 ;
	R2		3,14 x 142

P(A2) =	S2	=	5,6	0,0090991 ;
	R2		3,14 x 142

P(A) =	S1+ S2	=	2,6 + 5,6	=	8,2	0,013324 .
	R2		3,14 x 142		615,44

Ответ: Р(А) 0,013324 .

Задача 8

В двух партиях k₁ и k₂ % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно доброкачественное и одно бракованное?

Исходные данные: k₁ = 81; k₂ = 37.

Решение задачи

События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение:

Р(А/В) = Р(А) / Р(В) .

Для любых событий А и В имеет место формула:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) .

Обозначения:

Событие А – выбрали бракованное изделие из 1-й партии (1 – k₁) ;

Событие B – выбрали бракованное изделие из 2-й партии (1 – k₂) .

События А и В – независимые.

а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = (1 – k₁) + (1 – k₂) – (1 – k₁)(1 – k₂) =

= 0,19 + 0,63 – 0,19 х 0,63 0,82 – 0,12 0,70 .

б) Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А) х Р(В) = (1 – k₁)(1 – k₂) = 0,19 х 0,63 0,12 .

в ) Р = Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 – k₁)k₂ + (1 – k₂)k₁ =

= 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 0,07 + 0,51 0,58 .

Ответы:

а) 0,70;

б) 0,12;

в) 0,58.

Задача 9

Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р₁ вторым — р₂ . Первый сделал n₁, второй — n₂ выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Исходные данные: p₁ = 0,33; p₂ = 0,52; n₁ = 3; n₂ = 2.

Решение задачи.

Обозначения:

А – вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р₁) ;

В – вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 – р₂) ;

Р – цель не поражена в результате общего количества испытаний.

Р = (1 – р₁)ⁿ¹ x (1 – р₂)ⁿ² = (1 – 0,33)³ x (1 – 0,52)² = 0,67³ x 0,48² 0,30 x 0,23 0,069 0,07 .

Ответ: 0,07 .

Задача 12

Из 1000 ламп n_i принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3, . В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.

Исходные данные: n₁ = 350; n₂ = 440.

Решение задачи

Рассмотрим три гипотезы:

Н₁ – выбор лампы из первой партии;

Н₂ – выбор лампы из второй партии;

Н₃ – выбор лампы из третьей партии;

а также событие А – выбор бракованной лампы.

Учитывая то, что Н₁, Н₂, Н₃ – полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):

		3
	Р(А) =	P(Hi) x P(A/Hi) .
		i=1

Тогда:

P(H₁) = 350/1000 = 7/20 ;

P(H₂) = 440/1000 = 11/25 ;

P(H₃) = 210/1000 = 21/100 .

Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 .

Ответ: Р(А) = 0,0514 .

Задача 18

На каждый лотерейный билет с вероятностью p₁ может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р₂. — мелкий выигрыш и с вероятностью р₃ билет может оказаться без выигрыша, . Куплено n билетов. Определить вероятность получения n₁ крупных выигрышей и n₂ мелких.

Исходные данные: n = 14; n₁ = 5; n₂ = 4;p₁ = 0,25; p₂ = 0,35.

Решение задачи

Для решения данной задачи используем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события – является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным – независимы (для разных і):

Pn(m1,m2,…,mk) =	n!	p1m1 p2m2 … pkmk .
	m1! m2!…mk!

В задаче: А₁ – билет оказался с крупным выигрышем;