85874 (574934), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

А₂ – билет оказался с мелким выигрышем;

А₃ – билет оказался без выигрыша.

х 0,0009765 х 0,015 х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х

х 0,01024 0,0378.

Ответ: Р 0,0378 .

Задача 19

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность m «сбоев».

Исходные данные: m = 9; N = 500; p = 0,01.

Решение задачи

q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99 .

Так как n – большое число (n = N = 500), а npq 5, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:

Подсчет вручную дает следующие результаты:

Но, при известных а = 5 и m = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, где

Р_n(m) 0,03627 .

Ответ: Р_n(m) 0,03627 .

Задача 20

Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству.

Варианты 22—31:

Исходные данные: n = 100; P = 0,3; k₁ = - ; k₂ = 40.

Решение задачи

Вероятность Р_n(m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли:

P_n(m) = C_n^mp^mq^n-m, m = 0,1,2,…,n (1)

где q = 1 – p – вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании.

Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей.

При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы:

(2)

где:

(3)

где:

(4)

(5)

(6)

Формула (2) основана на локальной теореме Муавра—Лапласа, (3) — на интегральной теореме Муавра—Лапласа, (5) и (6) — на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра—Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)].

З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими.

З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I—IV соответственно (см. приложение).

В данной задаче n = 100, т.е. n – число большое.

npq = 21, следовательно npq > 9.

При этом q = 1 – p = 0,7 ;np = 30 .

Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3).

Тогда:

P_n(m k₂) Ф(х₂) – Ф(х₁) Ф(2,18) – Ф(- 6,55) Ф(2,18) + Ф(6,55)

0,48537 + 0,5 0,98537 .

Ответ: P_n(m 40) 0,98537 .

Задача 21

Дана плотность распределения р (х) случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание М дисперсию D, функцию распределения случайной величины вероятность выполнения неравенства х₁ < < х₂

Варианты 17-24:

Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x₁ = -1; x₂ = 1.

Решение.

Найдем . Должно выполняться соотношение:F(+) = 1;

= 2/5 (1/3 + 3,375/3) – 0,0625 = 0,4 * 1,4583 – 0,0625 = 0,5833 – 0,0625 = 0,5208 .

Найдем: P{-1<<1} = F (1) - F (-1) = 1 – (-2/5 + 0,6) = 7/5 – 3/5 = 4/5 .

Ответы: 1) = 2/5; 2) М = - 0,25; 3) D = 0,5208; 4) F (x) = 0,4x + 0,6; 5) P{-1<<1} = 4/5.

Список использованной литературы

1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер.с англ. - М.: Мир, 1994. – 528 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. – 6-е изд.стер. – М.: Высш.шк., 1999. – 576 с.

3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1998. – 656 с.

4. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1998. – 160 с.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)