85755 (Математические уравнения и функции)
Описание файла
Документ из архива "Математические уравнения и функции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "контрольные работы и аттестации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85755"
Текст из документа "85755"
Варивант №2
Задание 1
Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:
-
Длину стороны АВ;
-
Внутренний угол А с точностью до градуса;
-
Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
-
Точку пересечения высот;
-
Уравнение медианы, опущенной из вершины С;
-
Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;
-
Сделать чертеж;
Решение:
-
Найдем координаты вектора АВ:
Длина стороны АВ равна:
-
Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)
Тогда
-
Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор .
По формуле получим уравнение высоты:
Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:
-
Координаты основания медианы будут:
;
Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М
Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0
-
Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору
Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:
х=11 у=23
-
Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор .
Теперь воспользовавшись формулой
Подставляя в нее координаты точки С(0,3)
Задание 2
Даны векторы Доказать, что образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.
Решение:
-
Докажем, что подсистема линейно независима:
Из четвертого уравнения имеем , что , тогда из первого, второго и третьего следует, что . Линейная независимость доказана.
Докажем, что векторы можно представить в виде линейных комбинации векторов .
Очевидно,
Найдем представление через .
Из четвертого уравнения находим и подставляем в первые три
Получили , что данная система векторов не может называться базисом!
Задание 3
Найти производные функций:
Задание 4.
Исследовать функцию и построить ее график
-
Область определения:
, то есть
2. Кривая имеет вертикальную ассимптоту х=-1, так как
Находим наклонные асимптоты. а то означает, что есть вертикальная асимптота у=0.
-
Функция общего вида, так как и
-
Функция периодичностью не обладает
-
Находим производную функции
Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5.
Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы
х |
|
| 1 |
| 5 |
|
y’ | - | - | 0 | + | 0 | - |
y | убывает | убывыает | 0 min | возрастает | 0,074 | убывает |
-
Находим вторую производную функции
Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11
Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы.
х |
|
| 0.22 |
| 6.11 |
|
y” | - | + | 0 | + | 0 | - |
y | выпукла | вогнута | 0,335 перегиб | вогнута | 0,072 | выпукла |
-
Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу
получаем точку (0;1); получаем точку (1;0)
-
При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166
-
Строим график в соответствии с результатами исследований:
Задание 5
Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.
а) ; б) ; в) ; г)
Решение:
а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:
Проверка:
б) сделаем подстановку
Проверка:
в) Воспользуемся способом интегрирования по частям
Проверка:
г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей
Проверка:
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Решение:
находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:
приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение
корни этого квадратного уравнения
следовательно : , и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находится между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем:
т.к получаем: