85585 (Дифференциальные уравнения), страница 2

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает, во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку х = -3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум:

у_min = у(-3) = 0

Значит, А(-3;0) – точка минимума.

При переходе через точку х = 3 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум:

у_max = у(3) = 2

Значит, В(3;2) – точка максимума.

На рис. 1 знаками +, - указаны интервалы знакопостоянства производной у′, а стрелками – возрастание и убывание исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

у ′′ = 0 при х₁ = 0, х₂ = - 3√3 , х₃ = 3√3.

Р азобьем числовую ось на четыре интервалы: (-∞;-3√3), (-3√3 ;0), (0;3√3), (3√3 ; ∞).

рис.2

На первом, втором и четвертом интервалах вторая производная у′′ положительна и дуга исследуемой кривой вогнута; на третьем интервале у′′ отрицательна – дуга выпукла.

При переходе через точки х = 0 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 0 – абсцисса точки перегиба.

Следовательно С(0;1) – точка перегиба графика функции.

При переходе через точку х = 3√3 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 3√3 - абсцисса точки перегиба.

Следовательно – точка перегиба графика функции.

6. Так как точек разрыва у данной функции нет, соответственно вертикальной асимптоты она не имеет. Для определения уравнения наклонной асимптоты у=kx + b воспользуемся формулами:

Тогда

При вычислении пределов использовалось правило Лопиталя.

у=kx + b, у= 0*х + 1 = 1

Значит прямая у=1 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции.

рис. 3

Задача №7

Найти неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

Решение

а) Применяя свойства неопределенного интеграла и формулы табличных интегралов имеем:

Задача №8

Вычислить объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями ху=4; х=1; х=4; у=0. Сделать чертеж.

Решение

Объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями определяется по формуле:

Подставим в формулу (1) у = 4/х, х₁ = 1, х₂ = 4, получим:

Ответ: объем тела вращения равен 12π