85549 (Высшая математика)

Задача 1

Провести полное исследование функций и построить их графики

Решение:

1) Область определения ,функция общего вида, т.к.

y(-x)≠-y(x), y(-x)≠y(x);

2) =>x=-4

точка разрыва 2-го рода

3) Нули функции

4) Интервалы монотонности

возможные точки экстремума

не существует при

Функция возрастает при

.

Функция убывает при .

– точка максимума.

5. Выпуклость и вогнутость кривой.

при

не существует при

при кривая выпукла

при кривая вогнута

тч. перегиба

6) Асимптоты.

а) вертикальные: х=-4.

б) наклонные:

, =>

– наклонная асимптота

7) График функции

Задача 2

Фирма планирует собирать S шт./год телевизоров. Она периодически закупает кинескопы одинаковыми партиями размером q , шт./партию. Издержки по поставке не зависят от размера партии и равны С_П, руб./поставку. Хранение одного кинескопа на складе в течение года обходится в С_Х. руб./шт. год. Сборка телевизоров производится равномерно, с постоянной интенсивностью. Требуется определить оптимальные параметры системы снабжения кинескопами, при которых суммарные годовые издержки пополнения и хранения запаса кинескопов минимальны.

Таблица 1 - Параметры системы снабжения фирмы кинескопами

Указания к задаче 2:

1) Запишите формулы для годовых издержек пополнения запасов И_П(q), издержек хранения И_Х(q) и суммарных издержек И(q) → min;

2) Сформулируйте критерий нахождения экстремума суммарных издержек;

3) Рассчитайте оптимальные значения параметров системы (партия поставок q, число поставок в год N^о, период между поставками Т^о, издержки пополнения И_П^о, издержки хранения И_Х^о , суммарные издержки И^о);

4) Постройте график изменения текущего запаса кинескопов в течение года;

5) Исследуйте характер изменения трех видов издержек как функций размера партииq и постройте графики этих функций на новом рисунке.

Решение:

Годовые издержки пополнения запасов И_П можно определить как произведение числа поставок N на стоимость одной поставки С_П.

И_П = N * С_П

Число поставок можно выразить через общий объем поставок S и размер партии q:

N =

Тогда можно записать функцию годовых издержек пополнения запасов в зависимости от размера партии:

И_П(q) = С_П *

Функцию годовых издержек хранения И_Х можно определить как произведение стоимости хранения единицы С_Х на среднее число кинескопов на складе.

Среднее число единиц хранения при равномерном расходе определяется как полусумма максимального и минимального числа кинескопов. Примем за минимальный уровень нулевое значение (без страхового запаса). Тогда максимальный уровень будет равен размеру партии, т.к. сразу после поставки на складе будет лежать q кинескопов.

Исходя из вышесказанного, можно записать функцию годовых издержек хранения:

И_Х(q) = C_X * = C_X *

Запишем функцию суммарных издержек:

И(q) = И_П(q) + И_Х(q) = С_П * + C_X *

Экстремум функции суммарных издержек от размера партии определим из условия равенства нулю первой производной. Это экстремум соответствует минимуму суммарных издержек и определяет оптимальный размер партии.

И’(q) = (С_П * + C_X * )’= – +

Составим и решим уравнение:

– + = 0 ; = ; q² = ; q = .

Отрицательное значение корня не имеет физического смысла.

В результате получили формулу для определения оптимального размера партии.

Рассчитаем оптимальные значения параметров системы.

Найдем оптимальный размер партии:

q = = 1735 шт.

Найдем число поставок в год:

N^о = S / q = 62000 / 1735 = 35,7 36 раз

Найдем период между поставками:

Т^о = 360 / 36 = 10 дней

Найдем издержки пополнения:

И_П^о = С_П * N = 1650 * 36 = 59400 руб.

Найдем издержки хранения:

И_Х^о = C_X * = 68 * 1735 / 2 = 58990 руб.

Найдем суммарные издержки

И^о = И_П^о + И_Х^о = 59400 + 58990 = 118390 руб.

Построим график запасов:

Рис. 1

Рассмотрим функции издержек.

Годовые издержки пополнения запасов И_П(q) = С_П * являются обратной гиперболической функцией, которая монотонно убывает с увеличением размера партии q. С возрастанием q скорость убывания падает.

Годовые издержки хранения И_Х(q) = C_X * являются линейной функцией, которая монотонно возрастает с увеличением размера партии q. Минимальное значение функции нулевое. С возрастанием q скорость увеличения издержек хранения не изменяется.

Суммарные издержки являются суммой двух предыдущих функций. В силу этого, функция сначала убывает – когда издержки пополнения запасов существенно выше издержек хранения, а после выравнивания размеров издержек начинает возрастать – когда издержки хранения превышают размер издержек пополнения. Функция суммарных издержек имеет один минимум в районе примерного равенства входящих в нее функций.

Построим графики изменения трех видов издержек как функций размера партииq:

Рис..2

Задача 3

Фирма собрала сведения об объемах продаж своей продукции (Y_i) за 6 последних месяцев (X_i =1...6) и представила их в виде таблицы. Перед отделом маркетинга поставлена задача аппроксимировать эмпирические данные подходящей функцией, чтобы использовать ее для целей краткосрочного прогнозирования (на один и два месяца вперед, X_j =7, 8).

Таблица 1 - Данные о помесячных объемах продаж фирмы

Указания к задаче 3:

1) выполните аппроксимацию эмпирических данных линейной функцией у = a₀x + a₁;

2) выведите нормальные уравнения метода наименьших квадратов для линейной функции;

3) выведите формулы Крамера для параметризации аппроксимирующей линейной функции;

4) для расчета параметров аппроксимирующей линейной функции составьте таблицу.

Таблица.2 - Параметризация аппроксимирующей линейной функции.

5) запишите выражение для аппроксимирующей линейной функции и рассчитайте ее значения о точках X_i = 1...8; результаты расчетов оформите в виде таблицы;

6) изобразите на одном рисунке в большом масштабе график аппроксимирующей линейной функции и нанесите эмпирические точки.

Решение:

Аппроксимацию эмпирических данных будем выполнять линейной функцией

у = a₀x + a₁

Сущность метода наименьших квадратов состоит в подборе таких a₁ и a₀ , чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений будет функцией F этих параметров: F(a₀ , a₁) = или F(a₀ , a₁) =

Для отыскания минимума приравняем нулю частные производные по каждому параметру:

=

=

Выполнив элементарные преобразования сумм, получим систему из двух линейных уравнений относительно a₁ и a₀:

Решим данную систему методом Крамера:

Тогда можно вывести формулы расчета параметров:

Построим расчетную таблицу

Таблица 3 – Расчетная таблица

Найдем значения параметров: