85489 (Аксиоматика теории вероятностей)

Введение

Математика – царица наук. Это выражение в своей жизни слышал, наверное, каждый человек. Образованный юрист тоже должен иметь представление о том, что такое высшая математика. Да, по роду своей деятельности ему не нужно выводить какие-либо формулы, высчитывать интегралы. Но все-таки знать, что такое синусы, косинусы, матрицы и другие математические определения ему необходимо.

При этом не следует забывать, что школа дает лишь элементарные математические знания, например, сложение и вычитание, умножение и деление, таблица умножения, то есть то, без чего человек не может обойтись в своей повседневной жизни. Наличие же высшего образования подразумевает под собой нечто большее, в частности, знания по высшей математике.

В данной работе мы не будем углубляться в разнообразные математические термины, не станем интегрировать дифференциальные уравнения, высчитывать матрицы. Мы рассмотрим теорию вероятностей, которая, на наш взгляд, наиболее приближена к юридическим наукам, потому что она развивает логическое мышление человека.

Итак, мы дадим определение случайным событиям, познакомимся с вероятностью событий, узнаем статическое и классическое определение вероятности, заострим внимание на ограниченности классического определения, приведем примеры вычисления вероятностей и сделаем выводы о проделанной работе.

1. Аксиоматика теории вероятностей

1.1 Краткая историческая справка

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI–XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654–1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.

Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П.Л. Чебышева (1821–1894) и его учеников А.А. Маркова (1856–1922) и А.М. Ляпунова (1857–1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит российским математикам.

1.2 Предмет теории вероятностей

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» – случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, она просто не в силах это сделать.

Еще пример, выпадение снега в Москве 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием, а выпадение снега на экваторе – невозможным событием.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, хотя, как было уже сказано, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой, погрешностью, число появлений «герба», если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом предполагается, конечно, что монету бросают в одних и тех же условиях.

В последние годы основы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

2. Классификация случайных событий

2.1 Виды случайных событий

Выше событие названо случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.

Например, стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел – это испытание. Попадание в определенную область мишени – событие.

События называют несовместным, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» – несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

Пример. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты – равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Пример. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события. Действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.

2.2 Определение вероятности

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них – красные, 3 – синие и 1 – белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т.е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

Поставим перед собой задачу дать количественную опенку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через w₁, w₂, w₃ и т.д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: w₁ – появился белый шар; w₂, w₃ – появился красный шар; w₄, w₅, w₆ – появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию А (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: w₂, w₃, w₄, w₅, w₆.

Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А; в нашем примере А наблюдается, если наступит w₂, или w₃, w₄, или w₅, или w₆. В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (w₂, w₃, w₄, w₅, w₆); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом).

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р (А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (А) = 5/6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой:

Р(А) = m\n, где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А, n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n следовательно,

Р(А) = m\n = n\n = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,

Р(А) = m\n = 0\n = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m\n < 1, следовательно,

0 < Р(А) < 1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

0 < или = Р(А) < или = 1.

Далее приведены теоремы, которые позволяют по известным вероятностям одних событий находить вероятности других событий.

Замечание. Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Ограничимся изложением на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий w_i (i=1, 2,…, n). События w_i – называют элементарными событиями (элементарными исходами). Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий Q, а сами элементарные события – точками пространства Q.

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства Q), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество Q, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т.д. Таким образом, множество всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств Q. Само Q наступает при любом исходе испытания, поэтому Q – достоверное событие; пустое подмножество пространства Q – невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).

Заметим, что элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое из них содержит только один элемент Q.

Каждому элементарному исходу w_i ставят в соответствие положительное число p_i – вероятность этого исхода, причем сумма p_i (по i) = 1.

По определению, вероятность Р (А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что вероятность события достоверного равна единице, невозможного – нулю, произвольного – заключена между нулем и единицей.

Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1/n. Пусть событию А благоприятствует m исходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:

P (A)=1/n + 1/n + 1/n.

Учитывая, что число слагаемых равно m, имеем: