ДИНАМИКА

Динамика материальной точки

расчет д-33

Описание задания.

Цель расчета — приобретение опыта построения расчетной механической модели по описанию задачи, освоение методики составления дифференциальных уравнений движения материальной точки, знакомство с методами численного исследования уравнений.

ЗАДАНИЕ

1. Составить систему дифференциальных уравнений движения материальной точки на плоскости ху.

2. Привести полученную систему к безразмерному виду, используя в качестве нормализующих параметров линейный размер L, время T.

3. Записать полученную систему в нормальной форме Коши и при заданных начальных условиях проинтегрировать ее на компьютере численным методом в интервале изменения времени .

4. По результатам интегрирования движения построить траекторию движения точки на плоскости ху, а также график изменения модуля скорости точки . Масштабы для координат скорости и времени указать как в размерных, так и безразмерных переменных.

Исходные данные и допущения.

1. 1. Объект, движение которого изучается, рассматривается как материальная точка массы .

   2. Ускорение силы тяжести во всех задачах принять равным 9.807

   Коэффициент пропорциональности для сил воздействия потока (демпфирующей среды) обозначается как . Его числовые значения приведены в таблице.

2. Начальные координаты точки обозначены как , компоненты начальной скорости — .

3. Символом обозначена скорость потока, в котором движется точка.

4. Числовые данные для каждого варианта приведены в таблице, при этом в зависимости от номера группы начальные условия определяются умножением табличной величины на

Варианты заданий

1. Прибор закреплен на амортизаторах, предохраняющих его от ударных воздействий. Кроме амортизаторов, имеются демпферы, гасящие колебания прибора. Проекции на оси х и у силы воздействия амортизаторов пропорциональны взятым с противоположными знаками координатам прибора (коэффициент пропорциональности с), а демпфирующей силы — взятым с противоположными знаками компонентам скорости.

2. Частицы ионизирующей присадки вводятся в поток плазмы, протекающей по прямолинейному горизонтальному подводящему каналу камеры сгорания. Скорость плазмы постоянна во всех точках и направлена вдоль канала. При движении частица испытывает воздействие плазмы, которое выражается силой, пропорциональной квадрату скорости частицы относительно потока и направленной противоположно этой скорости.

Ось х направить вдоль канала, ось у – вертикально вверх.

3. Воздушный шар, запущенный с поверхности Земли, поднимается в верхние слои атмосферы. Скорость воздуха всюду постоянна и направлена горизонтально. Кривизной поверхности Земли и изменением силы тяжести пренебречь. Ось х направить по горизонтали, ось у — вертикально вверх, начало координат поместить на поверхности Земли.

Учитывая, что плотность воздуха с высотой уменьшается, силу воздействия его на воздушный шар можно представить как , где — величина, пропорциональная скорости воздушного шара относительно воздуха, коэффициент пропор­циональности .

Подъемная сила Q регулируется таким образом, что она не зависит от высоты и направлена вертикально вверх. Ввести обозначение k=aL.

4. Частицы золы движутся в потоке уходящих газов паро­генератора по вертикальной трубе и улавливаются электростатическим дымоуловителем. На каждую частицу действует сила со стороны газового потока, которая пропорциональна квадрату скорости частицы относительно потока газов и на­правлена противоположно этой скорости. Скорость потока считать всюду одинаковой и направленной вдоль оси трубы. Электростатическое поле является однородным, вектор на­пряженности Е направлен по горизонтали. Сила воздействия электростатического поля F пропорциональна его напряжен­ности. Ось х направить вдоль вектора напряженности элек­трического поля, ось у — вдоль оси дымовой трубы.

5. Воздействие воздушной среды на планирующий аппа­рат сводится к подъемной силе и лобовому сопротивлению. Подъемная сила F определяется как сила, перпендикулярная вектору скорости аппарата, а сила лобового сопротивления R—как сила, противоположная вектору скорости. Модули подъемной силы и силы лобового сопротивления пропорцио­нальны квадрату скорости планирующего аппарата, коэффи­циенты пропорциональности—соответственно и .

При составлении уравнений движения кривизной земной поверхности пренебречь, а силу тяжести считать постоянной. Ось х направить по земной поверхности, ось у — вертикально вверх. Принять .

6. Маятник, закрепленный шарнирно в точке О, представляет собой невесомый упругий стержень ОА, длина которого в недеформированном состоянии . В точке А к стержню прикреплен груз массы . Сила, с которой на стержень действует на груз, пропорциональна деформации стержня и направлена к точке подвеса при удлинении стержня и в противоположную сторону при укорочении. Коэффициент пропорциональности с.

Исследовать движение груза в вертикальной плоскости. Начало координат поместить в точку О, ось х направить вертикально вниз, ось у — по горизонтали вправо. Ввести обозначение b=mg/ca.

7. Космический корабль возвращается на Землю. До входа в плотные слои атмосферы можно рассматривать его движение, учитывая только силу притяжения к Земле, которая на­правлена к центру Земли и обратно пропорциональна квадра­ту расстояния от космического корабля до центра Земли. Коэффициент пропорциональности принять равным , где R—радиус Земли. Начало координат поместить в центре Земли. Решение считать справедливым при .

8. Ион, несущий положительный заряд , движется в пря­молинейном рабочем канале магнитогидродинамического ге­нератора. Сила, действующая на ион, вызывается электромаг­нитным полем, у которого Е — вектор напряженности элек­трического поля, В — вектор магнитной индукции. Считать электромагнитное поле однородным и постоянным, т. е. векторы Е и В неизменными, причем вектор Е на­правлен вдоль оси у, а вектор В — вдоль оси z. Ось х совмес­тить с осью рабочего канала. Силой тяжести и воздействием потока плазмы на ион пренебречь. Принять В=5х Тл¹, , где — заряд электрона.

9. Протон движется в постоянном однородном магнитном поле с индукцией В, и нестационарном электрическом поле, вектор напряженности Е которого вращается с угловой ско­ростью = 50 1/с в плоскости ху, перпендикулярной векто­ру В. Заряд протона е = 1,6х Кл. Компоненты вектора Е: , . Ввести обозначение

10. Подводный аппарат имеет отрицательную плавучесть (разность между весом аппарата и архимедовой силой) и движется под действием постоянной горизонтальной силы от работающих винтов, испытывая при этом сопротивление воды. Сила сопротивления воды противоположна вектору скорости аппарата и пропорциональна квадрату скорости.

Ось х направить вдоль поверхности воды, ось у — вертикально вверх.

11. При создании аэрозольной смеси частицы впрыскиваются в поток воздуха. Сила воздействия на частицу потока воздуха пропорциональна квадрату скорости частицы относительно воздуха и направлена противоположно этой скорости. Воздушный поток горизонтален, скорость его во всех точках одинакова.

Ось х направить вдоль вектора , ось у — вертикально вверх.

12. Транспортируемый прибор А подвешен на пружинах таким образом, что при отклонении от положения равновесия (точки 0) на него со стороны пружин будет действовать сила, направленная вдоль прямой АО и пропорциональная квадрату расстояния АО.

Исследовать движение прибора в горизонтальной плоскости, начало координат поместить в точку О.

13. Капля воды движется в потоке водяного пара, ско­рость которого во всех точках одинакова и направлена вдоль оси х. Масса капли за счет конденсации возрастает пропор­ционально ее поверхности, что соответствует изменению во времени , где см. в таблице, , с — интенсивность конденсации, — плотность воды. Воздействие пара на каплю пропорционально скорости капли относительно пара и площади ее поперечного сечения , коэффициент пропорциональности . Действием силы тяжести пренебречь. Конденсацию считать происходящей равномерно по поверхности капли без возникновения реактивной силы.

14. Парашютист, покинув самолет, опускается на поверхность Земли. На него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха, пропорциональная квадрату скорости парашютиста и направленная противоположно вектору скорости.