КР №2 - Теория поля

Контрольная работа 2 (по теории поля)

является защитой типового расчета “Дифференциальное и интегральное исчисление ФНП и теория поля”.

Контрольная работа содержит 4 задания

(оценивается в пятибалльной шкале*):

1. Вычислить поток векторного поля через боковую поверхность второго порядка (ориентация поверхности указана в варианте).

2. Вычислить поток векторного поля через часть плоскости (ориентация поверхности указана в варианте).

Вычислить дифференциальные характеристики 2 порядка.

1. Вычислить работу векторного поля по указанному контуру в заданном направлении.

2. Вычислить циркуляцию векторного поля по указанному замкнутому контуру.

*1, 3, 4 задачи – по 1 баллу; 2 задача – 2 балла.

Контрольная работа является итоговой по практическим навыкам вычисления интегралов по фигуре и соответственно мере фигуры.

Необходимо уметь вычислять (данные навыки проверялись в КР 1):

• двойные интегралы в декартовой, полярной и эллиптической системах координат;

• тройные интегралы – в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат;

• поверхностные интегралы I рода по проекциям поверхности на любые координатные плоскости.

Для успешного выполнения КР 2 необходимо владеть основными определениями и правилами вычисления потока, дивергенции, ротора векторного поля: .

Знать:

• связь поверхностных интегралов первого и второго рода;

• связь поверхностного интеграла по замкнутой поверхности с тройныминтегралом по объему внутри этой поверхности (формула Остроградского-Гаусса);

• связь криволинейного интеграла по замкнутому контуру с поверхностным интегралом по поверхности, натянутой на этот контур (формула Стокса);

• дифференциальные характеристики первого и второго порядков.

Основные правила вычисления интегралов и соотношения между ними:

Связь поверхностных интегралов первого и второго рода:

Поле задано вектором .

1) В векторной форме:

2 рода 1 рода

2) В координатной форме:

,

2 рода 1 рода

где нормаль к поверхности S: F(x;у;z) = 0, по которой ведется интегрирование:

= и соответственно единичная нормаль –

.

3) Вычисление поверхностного интеграла 2 рода: ,

где знаки перед двойными интегралами выбираются в соответствие со знаками направляющих косинусов нормали к поверхности, а соответствующие переменные в подынтегральных функциях выражаются из уравнения поверхности, пределы интегрирования расставляются в соответствие с проекциями поверхности на координатные плоскости.

4) Вычисление поверхностного интеграла 1 рода:

Поверхностный интеграл может быть вычислен по любой из следующих формул:

.

Формула Остроградского – Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности S и тройным интегралом по объему внутри этой поверхности.

1. В векторной форме: , где .

2. В координатной форме

,

где величина является скалярной величиной и называется дивергенцией (расходимостью) векторного поля .

Формула Стокса устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутой кривой L и поверхностным интегралом по поверхности, натянутой на этот контур.

1) В векторной форме: , где величина является вектором и называется ротором (вихрем) векторного поля .

2) В координатной форме:

.

Дифференциальные характеристики первого и второго порядков.

Если задано скалярное поле: U = U(x; y; z) и векторное поле: , а так же введены операторы дифференцирования:

• оператор Гамильтона , который называют набла оператор;

• оператор Лапласа , который называют дельта оператор.

Дифференциальные характеристики первого порядка:

1. градиент скалярного поля;

2. дивергенция векторного поля;

3. ротор векторного поля.

1.  вектор;

2.  скаляр;

3.  вектор.

Дифференциальные характеристики второго порядка:

Для характеристик векторных полей используются так же дифференциальные характеристики второго порядка:

• скалярные и ;

• векторные , , .

ПРИМЕРЫ.

Пример 1. Вычислить поток вектора , через часть плоскости S:; ( > 0).

Р ешение.

а) Первый способ. Вычислим поток с помощью поверхностного интеграла 2 рода:

Нормаль к поверхности S: , : >0 , = 0, > 0.

П = вычисляем по проекциям на координатные плоскости, учитывая знаки направляющих косинусов нормали к поверхности и из уравнения поверхности выражая необходимые переменные в подынтегральных выражениях

= проекция на плоскость xoz прямая, поэтому .

Расставляем пределы интегрирования по прямоугольным проекциям на соответствующие плоскости и вычисляем двойные интегралы:

=

= .

б) Второй способ. Вычислим поток с помощью поверхностного интеграла 1 рода: = переходим к вычислению двойного интеграла, выразив х из уравнения поверхности: =

в) Третий способ. Вычислим поток с помощью формулы Остроградского-Гаусса, замкнув поверхность плоскостями: х = 0; у= 0; z = 0, у=4.

заметим, что через поверхности S: z = 0 (dz = 0), x = 0 (dx = 0), y = 0 (dy = 0)

интеграл ,

а через поверхность у = 4 (dу = 0) .

Поэтому

где , нормаль к плоскости у = 4: ( >0).

Следовательно

{у = 4 из уравнения поверхности, и для выбираем знак “+” – внешняя нормаль} = .

Пример 2. Вычислить поток вектора , через часть плоскости S: , лежащей в 1 октанте.

Решение. Заметим, что

а потоки П =

через поверхности: у = 0 (dy = 0) и х = 0 (dx = 0) равны нулю и лишь поток через поверхность z = 0 (dz = 0) не равен нулю: П = ,

поэтому рациональным методом решения будет метод, рассмотренный в предыдущем примере под пунктом в)

а) Первый способ. Вычислим поток с помощью формулы Остроградского-Гаусса, замкнув поверхность координатными плоскостями: х = 0; у = 0; z = 0 ,

<0 ,

поэтому

б) Второй способ. Вычислим поток с помощью с помощью поверхностного интеграла 2 рода:

Проекции плоскости на все координатные – треугольники, нормаль к ней имеет >0 , > 0, > 0, поэтому переходя к вычислению двойных интегралов, выбираем знаки “+” и из уравнения поверхности выражаем соответствующие переменные.

Проверьте самостоятельно.

в) Третий способ. Вычислим поток с помощью с помощью поверхностного интеграла 1 рода:

П = , . П Проектируя на плоскость xoy необходим ..

.

Вычислите самостоятельно и оцените преимущества каждого метода.

Пример 3. Вычислить поток векторного поля , через

внешнюю поверхность цилиндра , вырезанную

плоскостями z = 0 и z = 1.

Р ешение.

Вычислим поток с помощью поверхностного интеграла 2 рода:

Нормаль к поверхности S: , . Проекция на yoz прямоугольник mnpq. На него проектируются поверхности , причем >0 , если х > 0; <0, если х < 0 .

Проекция на хoz – прямоугольник abcd. На него проектируются поверхности , причем >0 , если y > 0; <0, если y < 0 .

Проекция на хoy – окружность, ( = 0), поэтому . Поток вычисляем по проекциям на координатные плоскости, учитывая знаки направляющих косинусов нормали к цилиндру, и из уравнений поверхности,

выражая необходимые переменные в подынтегральных выражениях:

Определенный интеграл вычисляем с помощью тригонометрической подстановки: , тогда

ВНИМАНИЕ! Если цилиндр закрыть снизу плоскостью z = 0 ( ), а сверху плоскостью z = 1 ( ) , то

(*) 1)

2)

3) Для и вычисляем интеграл (*)

- объем цилиндра: Н = 1 , основание – окружность .

Пример 4. Вычислить работу силы при перемещении

точки по прямой из А(1,3,0) в В(0,5,-7).

Решение.

Первый способ. Сведем к определенному интегралу по параметру t. Уравнения прямой в пространстве можно записать, как канонические уравнения прямой: , в нашем случае: , тогда

параметрические уравнения прямой:

, где , что следует из перемещения точки из : при х = 1, t = 0; при х = 0, t = 1 (это же получим по другим переменным: при у = 3, t = 0; при у = 5, t = 1; при z = 0, t = 0; при z = -7, t = 1).

- вычисления выполните самостоятельно.

Второй способ. Если из канонических уравнений прямой выразить х и у: , то

- вычисления выполните самостоятельно (результаты должны быть одинаковы в обоих случаях).

Пример 5. Вычислить циркуляцию силы вдоль кривой:

Решение.

К онтур интегрирования замкнутый:

пересечение эллиптического цилиндра и плоскости.

Циркуляция может быть вычислена непосредственно и по формуле Стокса по поверхности, натянутой на данный контур с помощью поверхностного интеграла 2 рода или 1 рода.

Если поле потенциальное, то работа по замкнутому контуру (циркуляция) равна нулю. Сделаем проверку:

1. Вычислим непосредственно:

Запишем уравнение кривой параметрически:

Найдем все дифференциалы:

2) Вычислим по формуле Стокса: , вычисляя циркуляцию с помощью поверхностного интеграла 1 рода по поверхности , натянутой на контур, так как проекция на плоскость хоу:

; ; .

.