О.В. Кибис - Механика и молекулярная физика и термодинамика - Методические указания и сборник заданий

Министерство образования и науки Российской Федерации

Новосибирский государственный технический университет

53 № 3307

М 55

Механика, молекулярная физика
и термодинамика

Методические указания и сборник заданий

Новосибирск

2007

УДК 531+539.19+536.7](07)

М 55

Составители: О.В. Кибис, д-р физ.-мат. наук, проф.

М.П. Сарина, канд. техн. наук, доц.

Ю.В. Соколов, канд. техн. наук, доц.

Рецензент: А.В. Баранов, канд. физ.-мат. наук, доц.

Представленные в данном сборнике задачи по механике, термодинамике и молекулярной физике могут быть использованы в качестве материалов расчетно-графического задания, выдаваемого студентам
1-го курса дневного и заочного отделений НГТУ, факультетов РЭФ, ФТФ, ФЭН.

Работа подготовлена на кафедре
прикладной и теоретической физики

© Новосибирский государственный

технический университет, 2007

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1. Решения большинства задач следует начинать с выполнения чертежа, даже если вам кажется, что и без чертежа условия задачи понятны. На чертеже должны быть указаны все приведенные в задаче
данные.

2. Численные величины, представленные в задаче, должны быть переведены в систему СИ, что позволит в процессе решения избежать численных ошибок.

3. Решение задач сначала следует проводить в аналитическом виде и только в полученное выражение подставлять численные значения.

4. Следует проверить размерность полученного в аналитическом виде ответа.

5. Полученные вами численные ответы следует проверить на «здравый смысл». Если скорость движения теннисного мяча окажется больше скорости света, а его масса окажется сравнима с массой Земли, то стоит еще раз проверить свое решение.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. Второй закон Ньютона в общем случае выражается формулой

.

Если сила постоянна по величине и действует в неизменном направлении, то изменение импульса тела за конечный промежуток времени Δt равно

.

2. Сила, действующая на материальную точку, движущуюся по кривой, может быть разложена на две составляющие: тангенциальную (направленную по касательной к траектории) и нормальную (направленную по нормали к центру кривизны).

Тангенциальная сила

или , где R – радиус кривизны траектории; – угловое ускорение.

Нормальная, или центростремительная, сила есть

,

где ω – угловая скорость.

3. Применение законов сохранения импульса и энергии к центральному соударению тел позволяет определить:

• работу деформации при абсолютно неупругом соударении как разность кинетической энергии тел до и после удара:

,

где T₁ и T₂ – кинетические энергии тел до соударения, а T – общая кинетическая энергия тел после соударения;

• скорости тел после абсолютно упругого соударения:

, ,

где V₁ и V₂ – соответствующие скорости тел до соударения.

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. Момент импульса материальной точки относительно точки О:

, ,

где m – масса материальной точки, – ее линейная скорость; – радиус-вектор, проведенный из точки О к материальной точке; α – угол между векторами и .

Момент импульса твердого тела относительно оси Z, совпадающей с его осью симметрии:

L_Z = ω_Z J_Z ,

где ω_Z – угловая скорость вращения тела относительно оси Z, а
J_Z – его момент инерции относительно этой оси.

2. Момент силы относительно точки О

, ,

где – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы; – угол между вектором силы и радиус вектором .

3. Момент инерции:

• материальной точки ;

• твердого тела ,

где r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической
формы:

• для однородного стержня массой m и длиной :

– относительно оси, проходящей через центр стержня перпендикулярно к нему;

– относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно к нему;

• для тонкого кольца, обруча, трубы радиусом R и массой m:

– относительно оси, совпадающей с осью симметрии;

• для сплошного однородного цилиндра (диска) массой m и радиусом R:

– относительно оси, совпадающей с осью симметрии;

• для однородного шара массой m и радиусом R:

– относительно оси, проходящей через центр шара.

4. Теорема Штейнера:

,

где – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела; J – момент инерции тела относительно произвольной оси, параллельной предыдущей; а – расстояние между осями; m – масса тела.

5. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно оси Z

,

где М_Z – момент действующих на тело сил относительно оси Z; dω – изменение угловой скорости тела за время dt; J_Z – момент инерции тела относительно оси Z.

6. Закон сохранения момента импульса:

• в общем виде

;

• для двух тел

,

где – моменты импульса и угловые скорости тел до взаимодействия; – те же величины после взаимодействия.

7. Работа постоянного момента сил, действующего на вращающееся тело:

,

где – угол поворота; М – момент сил.

8. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости:

,

где – кинетическая энергия поступательного движения; – кинетическая энергия вращательного движения.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА

1. В направлении движения длина тела, движущегося со скоростью V относительно некоторой системы отсчета, связана с длиной тела, неподвижного в данной системе, соотношением

,

где c – скорость света.

2. Промежуток времени в системе, движущейся со скоростью V по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени в неподвижной для наблюдателя системе соотношением

.

3. Полная энергия тела массой m₀, движущегося со скоростью :

.

Если тело покоится (V = 0), то его энергия – это энергия покоя E₀:

.

4. Релятивистский импульс

.

5. Соотношение полной энергии, импульса и массы тела представляется выражением

.

Сочетание при любых скоростях тела остается неизменным, поскольку равно и называется инвариантом движения.

Легко запомнить связь между полной энергией, импульсом и энергией покоя с помощью прямоугольного треугольника (см. рисунок).

Рисунок к вопросу 5

По теореме Пифагора .

6. Релятивистская кинетическая энергия тела – это разность между полной энергией тела и его энергией покоя:

.

7. Связь между импульсом тела p, его массой m₀ и кинетической энергией задается соотношением

.

8. Преобразования Лоренца. Инерциальная система движется относительно инерциальной системы K вдоль оси Х со скоростью Переход от одной системы отсчета к другой позволяет производить следующие соотношения:

; ;

; ;

; ;

; ;

;

9. Интервал между событиями:

,

где – расстояние между точками пространства; – промежуток времени между событиями. Записанный в таком виде интервал инвариантен по отношению к преобразованиям от одной инерциальной системы к другой, т. е.

.

10. Изменение массы системы на соответствует изменению энергии системы

.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

1. Давление идеального газа

,

где – концентрация молекул; – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы; – температура газа.

2. Средняя кинетическая энергия поступательного и вращательного движения одной молекулы

,

где i – число степеней свободы молекулы. Это число равно 3 для одноатомных молекул (три поступательных степени свободы), 5 – для двухатомных (три поступательных степени свободы и две вращательных) и 6 для трех- и многоатомных молекул (без учета колебаний
молекул).

3. Барометрическая формула, выражающая зависимость давления идеального газа от высоты h над поверхностью Земли, есть

,

где – давление на высоте ; – молярная масса; – масса одной молекулы.

4. Распределение Больцмана (распределение концентрации молекул в силовом поле):

,

где – потенциальная энергия в точке пространства, где концентрация молекул газа равна .

5. Скорости молекул:

– средняя квадратичная;

– средняя арифметическая;

– наивероятнейшая.

6. Теплоемкость одного моля газа:

– при постоянном объеме;

– при постоянном давлении;

– показатель адиабаты.