Рк2ТА (Рк2 Билет 10)

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Кафедра физики

Билет№10

к РК2 по курсу «Тензорный анализ и групповые методы»

1.Понятие представления группы. Неприводимые и приводимые представления. Характеры представлений. Разложить симметричный квадрат векторного представления группы Т на неприводимые составляющие.

Представлением группы называется гомоморфное соответствие элементов группы на группу операторов : .

Характер матрицы есть , то есть характер представления — это сумма элементов, стоящих на главной диагонали матрицы .Следовательно, , то есть представлению произведения любых двух элементов , группы соответствует произведение их представлений и .

Характеры комплексно сопряжённых элементов одинаковы: , где .

Представление называется неприводимым, если не существует нетривиального подпространства пространства , инвариантного относительно всех операторов .

Если такие, что , где — прямая сумма, то действующее в представление будет приводимым ( преобразует , — ).

Найдём характеры векторного и псевдовекторного представлений по формулам , : , , , , , , , .

Определим коэффициенты разложения векторного представления

:

,

,

,

.

Определим коэффициенты разложения псевдовекторного представления

:

,

,

,

.

Разложим на неприводимые составляющие с помощью формулы :

,

,

,

.,

2 Свойства скаляра, вектора и псевдовектора. Понятие тензора произвольного ранга.

Свойства скаляра:

1. коммутативность ( , )=( , )

2. дистрибутивность ( + , )=( , )+( , ),

3. сочетательное свойство (λ⋅ , )=λ⋅( , ), ( ,λ⋅ )=λ⋅( , )

4. скалярный квадрат всегда больше нуля ( , )≥0, где ( , )=0 в том случае, когда нулевой.

Свойства вектора:

1. антикоммутативность [ × ]=− [ × ]

2. дистрибутивность [( + )× ]=[ × ]+[ × ] или [ ×( + )]=[ × ]+[ × ]

3. ассоциативность [λ⋅ × ]=λ⋅[ × ] или [ ×(λ⋅ )]=λ⋅[ × ], где λ - произвольное действительное число.

Свойство псевдовектора:

Аксиальный вектор или псевдовектор — величина, компоненты которой преобразуются как вектор при поворотах систем координат , н о меняющие свой знак противоположно тому, как ведут себя компоненты вектора при любой инверсии (обращении знака) координат. Т. е. псевдовектор меняет направление на противоположное при сохранении абсолютной величины (домножается на "-1") при любой инверсии координатной системы.

Задача к билету №10.

Провести теоретико-групповую классификацию колебаний в кристаллах ниобата лития. Установить структуру трансляционного, либрационного и внутреннего представлений. Выяснить правила отбора для инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света. Установить поляризационную геометрию для наблюдения комбинационного рассеяния на мягкой моде вблизи температуры фазового перехода. Ориентация поверхности кристалла (100).

Пространственная группа симметрии кристалла –

Число неэквивалентных атомов

Число элементов точечной группы

Характер квадрата векторного представления:

Найдём разложение на неприводимые представления оптического представления :

Получаем:

Векторное представление :

Получаем:

Квадрат векторного представления :

Получаем:

Вывод:

инфракрасное поглощение разрешено для представлений и

комбинационное рассеяние разрешено для и

Для либрационных, трансляционных и внутренних колебательных представлений получим:

Для наблюдения комбинационного рассеяния на мягкой моде вблизи температуры фазового перехода кристалла с ориентацией поверхности следует использовать поляризационную геометрию, в обозначениях Порто, (рис. 7).