Ответы на экзаменационные вопросы по Физике 3-й семестр (Ответы на теоретические вопросы экзаменационных билетов для 3-го семестра.), страница 7

1. Контур с током в магнитном поле. Магнитный момент контура с током. Сила и механический момент, действующие на контур с током в магнитном поле.

Ответ: При описании действия магнитного поля на замкнутый контур (рамку) с током такой конур можно характеризовать магнитным моментом . Для плоского контура:

где – ток в контуре; S – площадь поверхности, ограниченной контуром; – единичная нормаль к плоскости контура, направление которой связано, с направлением тока в контуре правилом правого буравчика:

Вектор магнитного момента характеризует размер контура, силу тока в нём и расположение контура в пространстве.

Замечание. Если контур состоит из N одинаковых витков, плотно прилегающих друг к другу, и в каждом витке протекает одинаковый ток, то магнитный момент такого контура увеличивается в N раз по сравнению с магнитным моментом одного витка. Отметим, что полный магнитный поток через N витков контура с током называется потокосцеплением с контуром и обозначается .

Контур с током в однородном магнитном поле.

Пусть магнитное поле, в которое помещён контур с током, однородно ( ), то есть в любой точке пространства вектор индукции магнитного поля одинаков как по значению, так и по направлению. Силовые линии такого поля представляют собой параллельные линии одинаковой густоты в пространстве.

В таком поле в соответствии с законом Ампера:

результирующая сила, действующая на контур со стороны магнитного поля, имеет вид:

где L – линия контура.

Так как , то интегрирование только по векторам . Поэтому:

Для замкнутого контура произвольной формы векторная сумма векторов = 0, поэтому:

Итак, в однородном магнитном поле результирующая сила, действующая на весь контур в целом, равна нулю. Поэтому центр контура в таком поле остаётся неподвижным. Силы Ампера, действующие на отдельные элементы контура, могут растягивать или сжимать контур в зависимости от направления тока в контуре и индукции внешнего магнитного поля. При этом, деформацией контура можно пренебречь. Такие силы могут создавать вращательный момент относительно оси, проходящей через центр контура. Под действием этого момента сил свободный незакреплённый контур будет разворачиваться в пространстве.

Для определения искомого вращательного момента рассмотрим прямоугольный контур с током в магнитном поле:

Пусть a и b – длины сторон контура, в котором протекает ток . Магнитный момент такого контура:

На вертикальные стороны контура AE и CD со стороны магнитного поля действуют силы и , которые создают вращательный момент относительно вертикальной оси, проходящей через центр O контура.

Так как по закону Ампера:

а плечо этой пары сил , где – угол между векторами и , то вращательный момент этой пары сил:

Поскольку , то

С учётом направлений векторов и запишем в векторной форме:

Эта формула справедлива и в общем случае для плоского контура с током произвольной формы.

2. Дифракция Фраунгофера от щели.

Ответ: Имеем щель длина которой >> ее ширины, пусть на нее падает плоская световая волна. Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы – экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, картина наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели одинакова. Поэтому достаточно исследовать характер картины в одной плоскости.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны ширины dx. Вторичные волны, посылаемые зонами в направлении, определяемые углом , соберутся в точке экрана P. Каждая элементарная зона создаст в точке P колебания dE. Линза соберёт в фокальной плоскости плоские волны. Поэтому множитель для создаваемых колебаний перед этой поверхностью будет отсутствовать (в случае дифракции Фраунгофера): , где

фаза колебания в месте расположения волновой поверхности S, k – волновое число, r – расстояние от элемента поверхности dS до P, Множитель a₀ определяется амплитудой светового колебания в том месте, где находится dS. Ограничимся рассмотрение малых углов , чтобы амплитуда колебания возбуждаемого зоной в любой точке экрана, зависела только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны dx. Тогда амплитуда dA колебания dE, возбуждаемого зоной ширины dx в любой точке экрана, имеет вид: , C = const.

Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, возбуждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами через A₀. Найдём ее соответственно:

Отсюда , и, следовательно, .

Определим фазовые соотношения между колебаниями dE.Оптические пути OP и QP таутохронны(принцип Ферма). Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути . Если начальную фазу колебания, возбуждаемого в точке P элементарной зоной, находящейся в середине щели (x=0), положить равной нулю, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой x, будет равна:

( – длина волны в данной среде).

Таким образом, колебание, возбуждаемое элементарной зоной с координатой x в точке P (положение которой задается углом ), может быть представлено в виде:

(вещественная часть этого выражения).

Проинтегрировав это выражение по всей ширине щели, найдём результирующее колебание, возбуждаемое в точке P открываемых щелью участком волновой поверхности:

. Введём обозначение . В результате получим:

=

Выражение в фигурных скобках определяет комплексную амплитуду результирующего колебания. Приняв во внимание, что разность экспонент, делённая на 2i, представляет собой , можно написать:

(с подстановкой значения ). Последнее выражение является вещественным. Его модуль представляет собой обычную амплитуду результирующего колебания:

. Для точки, лежащей против центра линзы . Подстановка этого значения в последнюю формулу даёт для амплитуды значение .

Билет 13

1. Электрический диполь в электростатическом поле. Сила и механический момент, действующие на диполь в электростатическом поле.

Ответ: Электрический диполь – система двух одинаковых по величине разноимённых точечных зарядов +q и -q, расстояние между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы. Прямая проходящая через оба заряда, называется осью диполя.

Вычислим потенциал, а затем напряжённость поля диполя. Это поле обладает осевой симметрией. Поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, будет одной и той же, причём вектор лежит в этой плоскости. Положение точки будем характеризовать с помощью радиус – вектора либо с помощью полярных координат и :

Введём вектор , проведённый от отрицательного заряда к положительному. Положение заряда +q относительно центра диполя определяется вектором , а заряд -q – вектором . Очевидно, что . Расстояние до данной точки от зарядов +q и -q обозначим соответственно и .

Ввиду малости a по сравнению с r можно положить приближённо, что:

Потенциал в точке, определяемой радиус – вектором , равен:

Произведение можно заменить через . Разность

согласно формулам для и равна . Следовательно:

где

Это характеристика диполя, называемая его электрическим моментом.

Вектор направлен по оси диполя от отрицательного заряда к положительному:

Из формулы для потенциала вытекает, что поле диполя определяется его электрическим моментом .

При сравнении с потенциалом единичного заряда:

потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее (как )

Из рис. 9.1 видно, что

Поэтому выражение для потенциала диполя можно написать как:

Чтобы найти напряжённость поля диполя, вычислим по формуле проекции вектора на произвольное направление:

Тогда проекции вектора на два взаимно перпендикулярных направления, одно из которых определяется движением точки, вызванным изменением расстояния r (при фиксированном ), второе – движением точки за счёт изменения угла (при фиксированном r), первая проекция:

Вторая проекция (обозначим ее ) получим, взяв отношение приращения потенциала , получающегося при возрастании угла на , к расстоянию , на которое перемещается при этом конец отрезка r (в этом случае

):

Подставив значение производной от функции по , получим: