4 (Готовые билеты неизвестного года)

Документ 4 (Готовые билеты неизвестного года), который располагается в категории "" в предмете "математический анализ" израздела "".4 (Готовые билеты неизвестного года) - СтудИзба2013-08-16СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Готовые билеты неизвестного года", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из раздела "", которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "4"

Текст из документа "4"

Б илет №25

3) Вычислить объем тела, образованного

вращением вокруг оси Ох плоской фигуры,

ограниченной линиями y=ln(x+1) y= -5 x=0

X+1=ey  x=ey-1

V = π -50(ey-1)2dy =

= π -50(e2y-2ey+1)dy = - π ( e-10/2 – 2e-5-5) + π /2 - 2 π =

= - π (e-10/2– 2e-5-5 –1/2+2) = 3.5 π

4) Найти общее решение дифференциального уравнения y’’-6y’+13y=4cos(3x)

K2-6k+13k=0

D=-16

K1,2 = (6 +- 4i)/(2) = +-2i

Y1 = e3xcos2x

Y2 = e3xsin2x

Yчн = Acos3x+3sin3x

Y’чн = -3Acos3x+3Bsin3x

Y’чн = -9Acos3x - 9Bsin3x

-9Acos3x - 9Bsin3x - 6(-3Acos3x+3Bsin3x) +13(Acos3x+3sin3x) = 4cos3x

cos3x(-9A -12B+13A) +sin3x( -9B+18A+13B) =4cos3x

4A-18B=4

4B+18A=0

B = -9/2A

2A+81/2A=2

A=4/85

B= -18/85

Билет №24

3) Проинтегрировать дифференциальное уравнение 2xy’y’’=1+(y’)2 при начальных условиях y(1)=0 y’(1)=1

Y’=p 2xpp’=1+p2

2x=(1+ p2)/(pp’)

(2x)\(dx)=(p dp)/(1+p2)

1\2∫ (1\x)dx=∫ (p dp)/( 1+p2)

ln |x| =∫ d(p2+1)/(1+p2)

ln |x| = ln |1+p2| + ln |c1|

x =1+ p2+ c1

y’=Sqrt(x-1- c1)

y=∫ Sqrt(x-1- c1)dx

y=∫ Sqrt(x-1- c1)d(x-1- c1)

y=2/3(x-1- c1)+c2

c1 =-1

c2 =-2/3


4) Вычислить площадь поверхности,

образованной вращением вокруг

оси Ox одной арки циклоиды

X=t-sin t

Y=1-cos t

S =2π 0 (1-cos t) Sqrt((1-cost)2+sin2t) dt = 4π 0π (1-cost) Sqrt(2-2cost) dt=

= 8π 0π (1 -cos t )Sin t/2 dt = 16π 0π (sin3t/2) dt =

= 8π 0π(sin3t/2) d t/2 = -8π 0π(sin2t/2) d(cos t/2)= -8π 0π(1-cos2t/2) d(cos t/2) =

= -8π(cos t/2 0|π - 0π(cos2 t/2) d(cos t/2) = -8π(cos t/2 0|π – (cos3 t/2)/3 0|π =(16 π )/3

Билет № 23

3) Исследовать на сходимость интеграл 12(arctg(x) dx)/(x(x2-1)).

X=1 особая точка

Lim (arctx)/(x(x2-1))=

x1

Расходится.

4) Найти частное решение дифференциального уравнения yy’’=1-(y’)2 при начальных

условиях y(-2)=1 y’(-2)=0.

yy’’=1-( p(y)=y’

ypp’=1-p2 (pdp)/(1-p2)=dy/y

-1/2∫ d(1- p2)/( 1- p2) = ln(y)+lnC1

1-p2 = C1/ y2

p = y’ = Sqrt(1-C1/y2) 0 = Sqrt (1-C1/1) C1=1

y’ = Sqrt(1-1/y2) dy/Sqrt (1-1/y2) = dx

arcsin 1/y = x+C2 C2 = π /2 +2

arcsin 1/y = x+ π/2 +2

Билет №22.

3) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями r =1-cosf и r =1/2 (внутри кардиоиды и вне окружности ).

S=Sk-So , Sk – кардиоиды , So – окружности.

Sk=0π (1- cos f )2 df =0π (1-2 cos f + cos2 f ) df =0π df - 2 0π cos f df + 0π cos 2 2f df =

= f 0|π –2sin f 0|π + 0π (1/2 +(cos2f)/2) df = f0|π –2sin f 0|π + 1/2 f 0|π +1/4 sin2f0|π =

= π + π /2=3/2 π

So= πR2= π/4 S = 6/4 π - π/4 = 5/4 π

4) Проинтегрировать дифференциальное уравнение y’’=y’/x – 1/2y при начальных условиях y(-2)=1 y’(-2)=0.

y’’=y’/x – 1/2y p(x)=y’ p’(x)=y’’

p’=p/x – 1/(2p) - делим на p-1 pp’=p2 /x – 1/2

U=p2 U’=2pp’ U’/2=U/x-1/2 U’/2=U/x

dU/U=2dx/x lnU=2lnx+c  U=Cx2  U=C(x) X2

 U’=2xC(x)+C’(x)x2  xC(x) + (C’(x)x2)/2=C(x)x- 1/2

C’(x)=-1/x2  C=1/x + C U=(1/2+C)x2 =p2

P=y’=Sqrt(x+xC)  1= Sqrt(1+C)  C=0

Y=∫ Sqrt(x)dx = 2/3*x*Sqrt(x)+C2  2/3=2/3 + C2  C2=0

Билет № 21

3)Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y=Sqrt(x+4), y=2-Sqrt(x), y=0

S=-40Sqrt(x+4)+ 04Sqrt(x+4) - 012-Sqrt(x)=2(x+4)3/2-1|0 – 2/3(x+4)3/20|4-(2x-3x3/2/2) 0|4=

=16/3+32Sqrt(2)/3 – 8=12,4

4) Найти общее решение дифференциального уравнения y’’-2y’+y=10ex+6x-2 .

y’’-2y’+y=10ex+6x-2

Корни характеристического уравнения k1=1, k2=1.

f(x)=f1(x)+f2(x)

f1(x)=Ax2ex

f2(x)=Bx+C

yчн= Ax2ex+ Bx+C

yчн’= 2Axex+ Ax2ex +B

yчн’’= 2Aex+ 2Axex +2Axex +Ax2ex

2Aex +2Axex + 2Axex + Axex –2(2Axex +Ax2ex +B)+ Ax2ex + Bx +C =10ex+6x-2

2Aex+ Bx+2B+C=10ex+6x-2

A=5 B=5 12+C= -2  C= -14

yчн= 5x2ex+ 6x – 14

yoн=C1(x)ex+C2(x)x ex +5x2ex+ 6x – 14

Билет 7

3) Вычислить обьем тела, образованного вращением вокруг оси OX плоской фигуры, ограниченой линиями X=Y2-2Y+1 и X=1

Заменяем Y на X и X на Y

Y=X2-2X+1, Y=1 и вращение вокруг OY

VY=2abXydX, X2-2X+1=1 => X(X-2)=0, X1=0, X2=2

V=202X(X2-2X+X)dX = 202(X3-2X2+X)dX=2(X4/4-2X3/3+X2/2)0|2 =

=2(4-16/3+2)= 2(18/3-16/3)= 4/3

Ответ. 4/3

4) Проинтегрировать дифференциальное уравнение Y*Y’’+(Y’)2=(Y’)3 при начальных условиях Y(0)=1, Y’(0) = 1

Обозначаем y’=P(y), y’’=P*dP/dy, y*PdP/dy+P2=P3, P=0-тривиальное решение

y*dP/dy+P=P2, dP/(P2-P)=dy/y, dP/(P2-P+1/4-1/4)=dy/y,

d(P-1/2)/((P-1/2)2-(1/2)2)= dy/y

1/(2*(1/2))*ln|(P-1/2-1/2)/(P-1/2+1/2)|=lny+lnC1

(P-1)/P=C1y => 1-1/P=C1y, P=1/(1-C1y), y’=1/(1-C1y), dy/dx=1/(1-C1y)

(1-C1y)dy=dx y-C1y2/2=x+C2 1=1/(1-C1)=>C1=0, y=x+C2 =>

=> C2=1 => y=x+1

Билет 6

3) Вычислить площадь фигуры, расположенной вне окружности r=1 и одновременно внутри лемнискаты r2=2cos2

cos2=1/2, 2=/3, => =/6

S=S1-S2=1/20/64cos22 d - (/6)/(2)*r2=20/6(1+cos4)/2 d-/12=

=2(1/2*+1/8*sin4)0|/6-/12=/12+sqrt(3)/8

ответ.S’=4S=/12+sqrt(3)/8

4) Найти общее решение: y’’+4y=x+cos2x

хар-е ур-е: k2+4k=0, k1=0, k2=-4, r=1 yoo=C1e0X+C2e-4X

f1(x)=x, y1=x(Ax+B)

f2(x)=cos2x, y2=Dcos2x+Fsin2x

y=C1+C2e-4x+x(Ax+B)+Dcos2x+Fsin2x

Билет 8

3) Фигура, ограниченная линиями y=sqrt(x) и y=x, вращается вокруг оси OX.

Вычислить площадь всей поверхности полученного тела.

Sx=2ab1 => X(X-2)=0, X1=0, X2=2

S=S1+S2=201sqrt(x(1+(1/2sqrt(x))2) dx + 201x*sqrt(1+12) dx=

201sqrt(x+1/4) dx + 2*sqrt(2)* *x2/2 0|1= 2*(-2)/sqrt(x+1/4) 0|1+sqrt(2)* =

=-8/sqrt(5)+8+sqrt(2)* =(8+sqrt(2)-8/sqrt(5))

4) Найти общее решение дифференциального уравнения y’’+y=1/cos3x

общее решение: y’’+y=1/cos3x

y’’+y=0, k2+1=0 , k=+-i

yoo=e0x(C1cosx+C2sinx)

yoo=C1(x)cosx+C1(x)sinx

C1’(x)*cosx+ C2’(x)*sinx=0

- C1’(x)*sinx+ C2’(x)*cosx=1/cos3x

C1’+ C2’tg(x)=0

- C1’+ C2’ctg(x)=1/(sinx*cos3x)

C2’(tg(x)+ctg(x))=1/(sinx*cos3x)

C2’((sin2x+cos2x)/(sinx*cosx))=1/(sinx*cos3x)

C2’=1/cos2x

C2=tg(x)+A

C1’= - tg(x)/cos2x

C1=d(cosx)/cos3x= - 1/(2cos2x)+B

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Нет! Мы не выполняем работы на заказ, однако Вы можете попросить что-то выложить в наших социальных сетях.
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
3483
Авторов
на СтудИзбе
918
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее