Задача 18
Описание файла
Документ из архива "Задача 18", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая механика" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "Задача 18"
Текст из документа "Задача 18"
Задача 18. Используя операторы рождения и уничтожения в представлении Мацубары, получить равновесные распределения Ферми и Бозе в идеальных газах.
Решение. Оператор в представлении Мацубары определяется как
Здесь Т – температура системы, - гамильтониан. Отсюда находим ее производную
Гамильтониан идеального газа запишем в представлении вторичного квантования (над операторами рождения и уничтожения частиц для краткости мы далее не ставим «шляпки»)
Далее все операции сложения и вычитания, относящиеся к ферми-газу, отмечаем верхним знаком, а к бозе-газу – нижним. Вычислим коммутатор
Из правил коммутации операторов следует, что Поэтому происходит взаимоуничтожение двух последних слагаемых в сумме в (2). Следовательно,
Подставляя это соотношение в (1), получим для оператора в представлении Мацубары уравнение
Решая его, находим
Вычисляем среднее число частиц, используя статистическое распределение Гиббса
Здесь Sp – сумма диагональных элементов матрицы. Перепишем второе слагаемое, используя (3), в виде
Под знаком Sp можно производить циклическую перестановку операторов. Следовательно,
Используя это соотношение, из (4) получим уравнение
Откуда окончательно получим распределения Ферми и Бозе
Здесь верхний знак относится к распределению Ферми, а нижний – к распределению Бозе.