Приложения определенного интеграл (Интегрирование)
Описание файла
Документ из архива "Интегрирование", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "интегралы и дифференциальные уравнения (ииду)" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "Приложения определенного интеграл"
Текст из документа "Приложения определенного интеграл"
13. Приложения определенного интеграл.
13.1. Некоторые кривые, которые будут встречаться в дальнейшем.
В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше.
-
Окружности, проходящие через начало системы координат. Уравнение окружности с центром
радиуса : . Если окружность проходит через начало координат, то , и уравнение принимает вид . В полярных координатах это уравнение выглядит так: . На рисунке справа приведены три такие окружности ( ), ( ), ( ).
-
Спирали: спираль Архимеда . На рисунке изображены спирали и . Логарифмическая спираль . На рисунке изображены спирали и .
Г
иперболическая спираль . На рисунке изображены спирали и . Стрелками на всех спиралях указано направление возрастания параметра .
Декартово уравнение кардиоиды: ;
Параметрические уравнения кардиоиды:
Кардиоида - частный случай улитки Паскаля .
П
одкоренное выражение неотрицательно при и . Декартово уравнение лемнискаты .
Лемниската - геометрическое место точек таких, что , где и - фокусы лемнискаты.
На рисунке изображена лемниската с .
Каждая точка этой кривой - основание перпендикуляра , опущенного из начала координат на отрезок постоянной длины , движущийся так, что его концы находятся на осях координат.
-
Развёртка (эвольвента) окружности
К
аждая точка этой кривой - конец нити, которая разматывается с окружности , оставаясь в натянутом состоянии. В начальный момент конец нити находится в точка .
Эта кривая - траектория точки окружности радиуса , которая без скольжения катится по оси . В начальный момент точка находится в точка .
Д
екартово уравнение . Каждая точка этой кривой - основание перпендикуляра , опущенного из начала координат на отрезок постоянной длины , движущийся так, что его концы находятся на осях координат. Точка - вершина прямоугольника, построенного на отрезке как диагонали. На рисунке приведена астроида с .
.
13.4. Объёмы тел вращения.
Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси. .
13.4.3. Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами и , вокруг полярной оси .
13.5. Площадь поверхности вращения.
Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)
( - длина окружности кольца, - его ширина).
141