Шпоры 4 семестр (Шпоры по билетам), страница 2

Билет 9

1.Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Квантование энергии. Плотность вероятности для различных энергетических уровней.

Проведем качественный анализ решений уравнений Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной потенциальной с бесконечно высокими стенками. Такая яма описывается потенциальной энергией вида(частица движется вдоль оси х):

∞,x<0 где l-ширина ямы, а энергия

U(x)0,0≤x≤l отсчитывается от ее дна

∞,x>1

Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишется в виде: (∂²ψ/∂x²)+(2m/ħ²)(E-U)ψ=0. По условию задачи частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами равна 0. На границах ямы вероятность тоже обращается в 0. Следовательно, граничные условия имеют вид ψ(0)=ψ(l)=0. В пределах ямы(0≤х≤l) ур-ние Ш сведется к (∂²ψ/∂x²)+(2m/ħ²)Eψ=0 или (∂²ψ/∂x²)+k²ψ=0, где k²=2mE/ħ².

Общее решение диф.ур-ния ψ(x)=Asinkx+BcosKx. Т.к. ψ(0)=0, то В=0. Тогда ψ(x)=Asinkx. Условие ψ(l)=Asinkl=0 выполняется только при kl=nπ, где n –целые числа, т.е. необходимо чтобы k=nπ/l

Из всего этого следует что E_n=(n²π²ħ²)/(2ml²) (n=1,2,3…)

Т.е. стационарное уравнение Ш, описывающее движение частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками удовлетворяется только при собственных значениях E_n, зависящих от целого числа n.

2. Примесная проводимость полупроводников. Концентрация основных и неосновных носителей в полупроводнике n-типа. Уровень Ферми примесного полупроводника n-типа.

Проводимость, обусловленная примесями, называется примесной, а сами полупроводники – примесными. Введение примеси искажает поле решетки, что приводит к возникновению в запрещенной зоне энергетического уровня D валентных электронов, называемого примесным уровнем. В полупроводниках с примесью, валентность которых на единицу больше валентности основных атомов, носителями тока явл.электроны; возникает электронная примесная проводимость (n-типа). Примеси, являющиеся источником электронов называются донорами, а энергетические уровни этих примесей - донорными уровнями. Наличие примесных уровней в полупроводниках существенно изменяет положение уровня Ферми. Уровень Ферми при 0К расположен посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем.

Проводимость примесного полупроводника определяется концентрацией носителей и их подвижностью. С изменением температуры подвижность носителей меняется по сравнительно слабому степенному закону, а концентрация носителей – по очень сильному экспоненциальному закону, поэтому проводимость примесных полупроводников от температуры определяется в основном температурной зависимостью концентрации носителей тока в нем.

Билет 10

1.Частица в трехмерном потенциальном ящике. Энергетический спектр частицы. Понятие о вырождении состояний

2. Атом во внешнем магнитном поле. Эффект Зеемана.

Эффектом Зеемана называется расщепление энергетических уровней при действии на атомы магнитного поля. Расщепление уровней приводит к расщеплению спектральных линий на несколько компонентов. Расщепление спектральных линий при действии на излучающие атомы магнитного поля так же называется эффектом Зеемана. Зеемановское расщепление уровней обьясняется тем, что атом, обладающий магнитным моментом _j, приобретает в магнитном поле дополнительную энергию E=-_jBB, _jB- проекция магнитного момента на направление поля. _jB=-_Бgm_j, E=_Бgm_j, (_j=0, 1,…, J). Энергетический уровень расщепляется на подуровни, причем величина расщепления зависит от квантовых чисел L,S,J данного уровня.

Билет 11

1.Движение микрочастицы в области одномерного потенциального порога.

2.Деление ядер и цепные реакции. Термоядерный синтез.

Реакция деления ядра заключается в том, что тяжелое ядро под действием нейтронов, а как впоследствии оказалось и других частиц делится на несколько более легких ядер (осколков), чаще всего на ядра, близких по массе. Оно сопровождается испусканием 2-3 вторичных нейтронов, называемых нейтронами деления. Т.к. для средних ядер число нейтронов примерно равно числу протонов, а для тяжелых ядер число нейтронов значительно превышает число протонов, то образовавшиеся осколки деления перегружены нейтронами, в результате чего они и выделяют нейтроны деления. Однако испускание нейтронов деления не устраняет полностью перегрузку ядер-осколков нейтронами. Это приводит к тому, что осколки оказываются радиоактивными.

Испускаемые при делении ядер вторичные нейтроны могут вызвать новые акты деления, что делает возможным осуществления цепной реакции деления - ядерной реакции, в которой частицы, вызывающие реакцию, образуются как продукты этой реакции. Цепная реакция характеризуется коэффициентом размножения k нейтронов, который равен отношению числа нейтронов в данном поколении к их числу в предыдущем поколении. Необходимым условием для развития цепной реакции деления является требование k≥1. Коэф.размножения зависит от природы делящегося вещества, а для данного изотопа – от его количества, а также размеров и формы активной зоны(пространство, где происходит цепная реакция). Минимальные размеры активной зоны, при которых возможно осуществление цепной реакции, называются критическими размерами. Минимальная масса делящегося вещества, находящегося в системе критических размеров, необходимая для осуществления цепной реакции, называется критической массой.

N=N₀e^(k-1)t/T – число нейтронов в момент времени t,N₀- число нейтронов в начальный моменты. k>1 – саморазвивающиеся реакции,k=1 – самоподдерживающаяся реакция, k<1 – затухающая реакция.

Реакция синтеза атомных ядер – образование из легких ядер более тяжелых. Реакция синтеза проходящая при сверхвысоких температурах (примерно 10⁷ К и выше) называется термоядерной реакцией.

Билет 12

1.Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы. Для одномерного (по оси х) движения частицы.

∞,x<0 (для области 1)

U(x)=0,0≤x≤l (для области 2)

0,x>1 (для области 3)

где l-ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна, U-высота. Частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером( при Е>U), либо отразится от него (при Е<U) и будет двигаться в обратную сторону. Для микрочастица, даже при Е>U, имеется вероятность отражения от барьера, и при Е<U есть вероятность проникновения через барьер. Это слудет из решения ур-ния Шредингера, описывающего движение микрочастицы

для областей 1 и 3 k²=2mE/h² ; для области 2 q²=2m(E-U)/h²

Общие решения этих диф.уравнений:

Ψ₁(x)=A₁e^ikx+B₁e^-ikx(для области 1);Ψ₂(x)=A₂e^iqx+B₂e^-iqx(для области2) Ψ₃(x)=A₃e^ikx+B₃e^-ikx(для области 3).

В частности, для области 1 полная волновая, будет иметь вид ψ₁(x,t)=ψ₁(x)e^-(i/h)Et=A₁e^{-(i/h)(Et-px)}+B₁x^{-(i/h)(Et+px)} ( в этом выражении первый член представляет собой плоскую волну вдоль х, другой – волну, распространяющаяся в обратную сторону). В области 3 есть только прошедшая сквозь барьер волна и поэтому В₃=0.Для области 2 q=iβ;β=√2m(E-U) /h.

Получили Ψ₁(x)=A₁e^ikx+B₁e^-ikx, Ψ₂(x)=A₂e^-βx+B₂e^βx ,Ψ₃(x)=A₃e^ikx

Качественный характер функций ψ₁(х),ψ₂(х),ψ₃(х)(см.рис2), откуда следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Т.о. приходим к явлению – туннельный эффект, когда микрочастица может пройти сквозь потенциальный барьер.

2. Симметрия и законы сохранения в мире элементарных частиц. Закономерности, наблюдаемые в мире элементарных частиц, могут быть сформулированы в виде законов сохранения. Каждый закон сохранения выражает определенную симметрию системы. Законы сохранения импульса, момента импульса и энергии отражают св-ва симметрии пространства и времени: сохранение энергии есть следствие однородности времени, сохранение импульса обусловлено однородностью пространства, а сохранение момента – его изотропностью. Законы сохранения электрического, барионного и лептонного зарядов выражает особую симметрию -ф-ции.

Билет 13

1.Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора и анализ его решений.

Линейный гармонический осциллятор – система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы – является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории. Пружинный, физический и математический маятники – примеры классических гармонических осцилляторов. Потенциальная энергия осциллятора равна

U=mω₀²x²/2 где ω₀- собственная частота осциллятора,m- масса частицы.

Гармонический осциллятор в квантовой механике – квантовый осциллятор – описывается уравнением Шредингера, учитывающим выражение для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются ур-нием Шредингера вида

где Е- полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что это уравнение решается

только при собственных значениях энергии E_n=(n+½)ħω₀. Эта формула показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь только дискретные значения, т.е. квантуется.

Строгое решение задачи о квантовом осцилляторе приводит еще к отличию от классического рассмотрения. Квантово-механический расчет показывает, что частицу можно обнаружить за пределами дозволенной области, в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы области. Т.о. имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в области, которая является классически запрещенной.

2. Структура атомного ядра. Характеристика ядер: заряд, размеры, масса, энергия связи. Свойства и обменные характер ядерных сил.

Атомное ядро состоит из элементарных частиц – протонов и нейтронов. Протон имеет положительный заряд, равный заряду электрона. Нейтрон – нейтральная частица. Протоны и нейтроны называют нуклонами. Общее число нуклонов в атомном ядре называется массовым числом А. Атомное ядро характеризуется зарядом Ze, где Z-зарядное число ядра, равное числу протонов в ядре и совпадающее с номером в периодической системе Менделеева. Ядра с одинаковым Z, но с разным А называются изотопами, а ядра с одинаковыми А, но с разными Z - изобарами. Радиус ядра задается эмпирической формулой R=R₀A^1/3, где R₀=(1,3÷1,7)10^-15 м.

Энергия, которую необходимо затратить на расщепление ядра на отдельные нуклоны, называется энергией связи нуклонов в ядре:E_св=[Zm_p+(A-Z)m_n-m_я]c² , где m_p,m_n,m_я- соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

Энергия связи ядра E_св=[Zm_Н+(A-Z)m_n-m]c², где m_H- масса атома водорода. Δm=[Zm_p+(A-Z)m_n-m_я]-дефект массы ядра. На эту величину уменьшается масса всех нуклонов при образовании из них атомного ядра. Между составляющими ядро нуклонами действуют особые, специфические для ядра силы, значительно превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами. Они называются ядерными силами. Свойства:

1.ядерные силы являются силами притяжения

2.ядерные силы являются короткодействующими – их действие проявляется только на расстоянии 10^-15 м. При увеличении расстояния между нуклонами ядерные силы быстро уменьшаются до нуля а при расстоянии, меньших их радиуса действия, оказываются примерно в 100 раз больше кулоновских

3.ядерным силам свойственна зарядовая независимость: ядерные силы, действующие между 2 протонами или 2 нейтронами, одинаковы по величине. Ядер.силы имеют неэлектрическую природу.

4.ядерным силам свойственно насыщение – каждый нуклон в ядре взаимодействует с ограниченным числом ближайших к нему нуклонов.

5.ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов взаимодействующих нуклонов.

6.ядерные силы не являются центральными, т.е. действующими по линии, соединяющей центры взаимодействия нуклонов.

Билет №14.

1.Квантовая теория свободных электронов в металле. Плотность электронных состояний. Энергия Ферми.

Квантовая теория электропроводности металлов – теория электропроводности основывается на квантовой механике и квантовой статистике Ферми-Дирака. Согласно этой теории выражение для удельной электрической проводимости металлов: =ne²<l_F>/m<U_F>, где n – концентрация электронов проводимости, <l_F> - средняя длина свободного пробега электронов, имеющего энергию Ферми, <U_F> - средняя скорость теплового движения такого электрона. Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с реальной кристаллической решеткой, а классическая, взаимодействие с идеальной кристаллической решеткой. Классическая теория дает, что ~1/T, а квантовая более точно объясняет зависимость  от Т, как ~1/T. Так как согласно классической теории <U>~T, то в квантовой теории доказано, что <U_F> от температура практически не зависит, так как доказано, что с изменением температуры уровень Ферми остается неизменным. Однако с повышением температуы рассеяние «электронных волн» на фотонах возрастает. А это соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. Поэтому можно заметить, что сопротивление металла R~1/ растет пропорционально Т Энергия Ферми – это максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в атоме при 0К. Наивысший энергетический уровень, занятый электронами называют уровнем Ферми. Уровню ферми соответствует энергия ферми Е_F, которую имеют электроны на этом уровне.

2. Ядерная модель атома. Постулаты Бора.

На основании своих исследований Резерфорд в 1991г. предположил ядерную (планетарную) модель атома. Вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze(Z- порядковый номер элемента, е-элементарный заряд), размер 10^-15-10^-14 м и массу, практически равной массе атома, в области с линейными размерами порядка 10^-10м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома.

Первый постулат Бора (постулат для стационарных состояний): в атоме существуют стационарные состояния( не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарные состояния атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантовые значения момента импульса, удовлетворяющие условию

m_evr_n=ħn (n=1,2,3…) где m_e-масса электрона,v-его скорость по n-орбите радиуса r_n,ħ=h/(2π)

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией hv=E_n-E_m равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (E_n и E_m – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения(поглощения). При E_m<E_n происходит излучение фотона, при E_m>E_n- его поглощение.

Билет №15.

1. Уравнение Шредингера, его свойства. Статическая интерпретация волновой функции.

Ур-е Шредингера – основное ур-е нерелятивистской квантовой механики, которому подчиняется любая волновая ф-ция (x,y,z,t). Частица движется в некотором силовом полеF(x,y,z,t)=gradU(x,y,z,t) то есть силовое поле задается силовой ф-цией. Нужно найти волновую ф-цию, т.е. решить ур-е Шредингера:

ih(/t)=-(h²/2m)+U(x,y,z,t), (x,y,z,t) – искомая волновая ф-ция. i=-1 – мнимая единица, h – константа планка деленная на 2, m – масса частицы,  - оператор Лапласа, =²/x²+…+²/z². =²/x²+…+²/z² – подставим в уравнение. U – силовая ф-ция характеризует поле, в котором движется частица. Это уравнение справедливо для любой частицы, движущейся с малой скоростью. Оно дополняется условиями: 1) Волновая ф-ция  должна быть конечна, однозначна, непрерывна. 2) Частные производные должны быть непрерывны. 3) Функция ||² должна быть интегрируема.

2. Контактные явления в полупроводниках. P-n переход, его В-А хар-ка.

Граница соприкосновения двух полупроводников, один из которых имеет электронную, а другой- дырочную проводимость, называется электронно-дырочным переходом или p-n переход. Переход нельзя осуществить простым механическим соприкосновением. Обычно области различной проводимости создают либо при выращивании кристаллов, либо при соответствующей обработке кристаллов. На границах областей возникает эл.ток, образованный отрицательными ионами акцепторной примеси и положительными ионами донорной примеси. Электрическое поле направлено так, что противодействует дальнейшему переходу через слой основных носителей. Равновесие достигается, когда уровень Ферми областей на одинаковой высоте. В условиях равновесия некоторые основные носители преодолевают барьер, и течет небольшой ток I_осн. Этот ток компенсируется неосновными носителями встречного тока I_неосн.

ВАХ - изучение зависимости тока I диода от u.

Нарисуешь САМ 

Билет 16.

1.Спонтанное и индуцированное вынужденное излучение.

Атомы могут находиться лишь в квантовых состояниях с дискретными значениями энергии. Если атом находится в основном состоянии 1, то под действием внешнего излучения может осуществиться вынужденный переход в возбужденное состояние 2, приводящий к поглощению излучения. Атом находясь в возбужденном состоянии 2 может через некоторое время спонтанно, без каких-либо внешних воздействий, перейти на уровень с низшей энергией, отдавая избыточную энергию в виде электромагнитного излучения (испуская фотон с энергией hv=E₂-E₁). Процесс испускания фотона возбужденным атомом без внешних воздействий называется спонтанным излучением. Если на атом, находящийся в возбужденном состоянии 2, действует внешнее излучение с частотой, удовлетворяющей условию hv=E₂-E₁, то возникает вынужденный (индуцированный переход), с той же энергией hv=E₂-E₁

2.Предельный переход квантовых статических распределений Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна в классическое распределение Максвелла-Больцмана.

Параметр вырождения.

1) Распределение Ф-Д: f_Ф=1/(exp[E-E_F/kT]+1).

2) распределение Б-Э: f_Б=1/(exp[E-E_F/kT]-1).

3) Распределение М-Б: f=exp[-E/kT].

Функции распределения в классической и квантовых статиках, введенные как среднее число частиц в одном состоянии, могут быть выражены единой формулой: f=1/(exp[E-E_F/kT]+). Для Ф-Д: =1, для Б-Э: =-1, для М-Б: =0 E_F=0. K – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, E_F – энергия Ферми, max E уe ферми-газа при T=0К. Параметр вырождения: A=exp(/kT). При А<<1 распределение Б-Э и Ф-Д переходят в классическое распределение М-Б.